Tuyển tập bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Bài tập Đại số tuyến tính" cung cấp cho người đọc các bài tập về ma trận, dạng song tuyến tính - dạng toàn phương. Cuốn sách có những bài tập về rèn luyện kĩ năng tính toán và cũng có nhiều bài có tính lí thuyết giúp học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức và rèn luyện tư duy sáng tạo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tuyển tập bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2 Chương 5 MA TRẬN Trong cuốn sách này ta kí hiệu tập hợp các ma trận kiểu (m, n) với các thành phần trong trường K bởi Mat „,(K). Xin nhắc lại rằng trong (m không gian vectơ R', cơ sở gồm các vectơ Ẻ, =(1, 0,..., 0 0), Ẽ, =(0, Ì, 0, ...,0), g = (0,0,0,1) n 8, = (0, 0, Ì, 0), số Ì đứng ở vị trí thứ ị, các số còn lại trong dấu ngoặc đều bằng 0, được gọi là cơ sỏ chính tắc. §1. MA TRẬN CỦA MỘT ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH 1.1. Định nghĩa Giả sử V và Vỉ là hai K - không gian vectơ với cơ sở lần lượt là (4 = {ẽ,,ẽ ,..., ẽj,(ộ={ị 2 \. ..., ịj,f:V-> 1> w là một ánh xạ tuyến tính mà b Aẻ,) = 0;;ậ +0 j| + ••• 1 2 2 +a ị mI m f(ẽ ) = a ị 2 u t +a ị 22 2 + ... + a ị nứ m (1) /tẽ.) = a,„ĩ, inị + - + mnị - +a i a m Ma trận 125 a n a .. 12 a 21 a2- 2 V 'mi 'm2- được gọi /à ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với hai cơ sở (e) nà (ộ. Có thể viết gọn các đẳng thức (1) như sau: f(ĩ ) = fx^i> t với e {í> 2 —- n} 11 = Kí dụ: Giả sử trong R và R đã chọn các cơ sở chính tắc: 2 3 (E):Ẽ, =(1,0), ẽ =(0, 1), 2 (ị): ị = (Ì, 0, 0), ị = (0, Ì, 0), ị, = (0, 0, 1). 2 f: R -> R xác định bởi f(a„ a ) = (a„ 3a , a -5a,). Khi đó 2 3 2 2 2 f(Ễ,) = f(l,0) = (l,0,0-5)= Ì +oị -5ị 2 3 f(Ễ ) = f(0, 1) = (0, 3, 1-Ợ> = 0 | , + 3 | , + | , l Do đó ma trận của f đối vói hai cơ sở này là í Ì 0 ì 0 3 5 Ì 1.2. Liên hệ giữa Hom (V, W) vói Mat, (K) K m n) Mệnh đê. Giả sử V, w là hai K - không gian uectơ và (è) = ị É ,, EỊ,..., E „}, (ộ = ị ị,, %2>—< Ị, m) lẩn lượt íà cơ sở cố định của V và w. Khi đó: 1) Môi ma trận kiêu ịm, n) xác định duy nhất một ánh xạ tuyến tính f:V->W; 2) Ánh 0: Hom (V, W)-> Mat , (K) xác định bởi 0Ợ) = A, (Ạ là ma K lm nì trận của ánh xạ tuyến tính f đối vời hai cơ sở (Ề) và (ộ), là một song ánh. 126 BÀI TẬP 359. Tìm ma trận của các ánh xạ tuyến tính sau đối vối các cơ sở chính tắc trong các không gian vectơ R , R : 3 4 a) f: R -> R xác định bởi: f(ẽ,) = (- 3, 4, 0, 5), f(Ẽ ) = (0, Ì, - 2, 1), 3 4 2 f(ẽ ) = (0, 0, Ì, 2); 3 b) g: K -> K xác định bồi: g(ẽ,) = (0, 4, 0, 5), g(ẽ ) = (0, 0, 0, 1), 3 4 2 g(ẽ ) = (0, Ì, 1,0). 3 360. Cho f, g thuộc Hom (R , R ), có ma trận đối vối các cơ sở chính tắc của R 4 3 R' và R lần lượt là: 3 0 -Ì 5 ì (2 0-1 5ì A= 0 -Ì 5 0 , B: 0 2 0 -1 -2 -Ì 6 -5 0 0 2 0 a) Tìm ảnh của các vectơ trong cơ sở chính tắc của R qua ánh xạ f; 4 qua ánh xạ g. b) Tìm ảnh của vectơ ã = (0, Ì, 3, - 2) qua ánh xạ f; qua ánh xạ g. 361. Cho ánh xạ f: R -> 3 xác định bởi: f(a„ a , a ) = (0, a„ - a , a, + a ). 2 3 2 2 a) Tìm ma trận của ánh xạ f đối vói các cơ sở chính tắc trong hai không gian. b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở gồm các vectơ | , = (1, Ì, 1), | = (0, Ì, 1), | , = (0, 0, 1) 2 của không gian R và cơ sở chính tắc của R\ 3 127 362. Cho ánh xạ g: R -» R , xác định bởi: 4 3 g(ai, a , a , a ) = (0, a, - a , a, + a ). 2 ...