15 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Kèm đáp án

Cùng tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 kèm đáp án giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì thi học sinh giỏi được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
15 Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Kèm đáp án 1 S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH GIA LAI L P 12 THPT, NĂM H C 2010-2011 ............ Môn thi : Toán - B ng A Đ CHÍNH TH C Th i gian làm bài : 180 phút (không k th i gian giao đ ) Ngày thi : 02/12/2010 .......................................Câu 1 (3 đi m). Ch ng minh r ng có vô s s nguyên dương a th a mãn đi u ki n . − 1 . 2012. 2010 a2 .2   x = 3z 3 − 2z 2Câu 2 (3 đi m). Gi i h phương trình y = 3x3 − 2x2 z = 3y 3 − 2y 2. Câu 3 (3 đi m). Gi s a, b, c, d là các s th c dương th a mãn đi u ki n a + b + c + d = 1.Ch ng minh r ng a3 b3 c3 d3 1 + + + ≥ . b+c c+d d+a a+b 8Đ ng th c x y ra khi nào ?Câu 4 (3 đi m). Tìm t t c các hàm s f : R → R th a mãn đi u ki n f (x + 14) − 6f (x + 7) + 9f(x) = 4, ∀x ∈ R.Câu 5 (4 đi m). Cho dãy s (xn ) như sau : x1, x2, x3 là các s dương cho trư c, √ √ xn+3 = xn+2 + xn , ∀n = 1, 2, . . .Ch ng minh r ng dãy s đã cho có gi i h n h u h n và tìm gi i h n đó.Câu 6 (4 đi m). Cho hình chóp S.ABC có các c nh bên SA = a, SB = b, SC = c không đ i vàcác góc BSC = α, CSA = β, ASB = γ thay đ i (00 < α, β, γ < 1800 , α + β + γ < 3600 và m igóc nh hơn t ng hai góc còn l i).a) Tính th tích VS.ABC c a hình chóp theo a, b, c, α, β, γ. √ abc 3b) Ch ng minh r ng khi các góc α, β, γ thay đ i, ta luôn có VS.ABC < . 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . H T. . . . . . . . . . . . . . . . . .WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM 1 S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I C P T NH GIA LAI L P 12 THPT, NĂM H C 2010-2011 ............ ............ Đ CHÍNH TH C ĐÁP ÁN VÀ HƯ NG D N CH M Môn : Toán - B ng A .......................................Câu 1 (3đ). Xét các s nguyên dương a ≥ 3. Ta có 2010 2009 2009 2008 2008 2009 a2 − 1 = a2 −1 a2 + 1 = a2 −1 a2 +1 a2 +1 (0,5 đi m) 2007 2007 2008 2009 = a2 −1 a2 +1 a2 +1 a2 + 1 = ··· 2 2007 2008 2009 = (a − 1) (a + 1) a2 + 1 a2 + 1 ... a2 +1 a2 +1 a2 +1 . (0,5 đi m)N u a là s l , thì t n t i s t nhiên k sao cho a = 2k + 1. Khi đó . (a − 1)(a + 1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1). = 23 , .8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,5 đi m)và . a2 + 1. .2 . a2 + 1. 2 .2 ............ . + 1. ...