201 Bài tập phương trình vi phân

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "201 Bài tập phương trình vi phân" sau đây. Tài liệu ngoài việc cung cấp các dạng bài tập toán phương trình vi phân hữu ích còn kèm theo hướng dẫn giải cho từng bài cụ thể, giúp các bạn dễ dàng kiểm tra và ôn tập hiệu quả hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
201 Bài tập phương trình vi phânwww.VNMATH.com1. . ` ˆ ˆ BAI TAP PHU O NG TR` INH VI PHAN .1). . nh: Giai phu o ng tr2xy y” = y 2 − 12xpp = p2 − 1 √ dx 2pdp . 2 V i x(p − 1) = 0 ta co : o = ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1 p2 − 1 x √ dy 2 3 p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2 dx 3C1 ’ HD giai:- Dat .y =p:2). . Giai phu o ng tr nh:√y.y” = y’ HD giai:. V i o- Dat .y = p ⇒ y” = pdp dy. . . nh tro thanh: (ham theo y). Phu o ng tr √ypdp =p dyp=0. . . . ta d u o c phu o ng tr . nh:dy dy √ √ = 2 y + C1 ⇒ dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ y dxdy dx = √ 2 y + C1. e o T d nghi^m t^ ng qua t: u o . Ngoai ra x=√y−C1 √ ln |2 y + C1 | + C2 2y = c: ~ h ng cu ng la nghi^m. a e .3). . nh: Giai phu o ng tra(xy + 2y) = xyy’ HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay N^ u ey = 0,. . . . . . . ta co phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v i o ~ cu ng la nghi^m. e .2a a−y dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C y xNgoai ra y=04). . nh: Giai phu o ng try” = y ey’ HD giai:. V ip o . V i o- Dat .y = p ⇒ y” = pdp dy. . thay vao phu o ng tr nh:pdp = pey dy ey dy y ) = − ey + C1 C11 ln(ey + C1 ) C1dy dy dp = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx dy dx e + C1 1 1 dy ey + C1 − ey = dy = (y − C1 = 0 ta co : ey + C1 C1 ey + 1 C1 =0: ´ nˆ u C1 = 0 e ´ nˆ u C1 = 0. e −e−y dx . nhu v^y: a = 1 . ey + C1  (y − ln |ey + C1 |) C1 Ngoai ra y = C : h ng la m^t nghi^m a o e . .5). . Giai phu o ng tr nh:xy = y(1 + ln y − ln x). v i oy(1) = e2www.VNMATH.comy y (1 + ln ), d at y = zx d u.o.c: xz = z ln z . . x x dx y dz = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx • z ln z = 0 ⇒ z ln z x x y(1) = e → C = 1. V^y y = xex a . ’ HD giai:. . - . Du a phu o ng tr nh v^: ey =6). . Giai phu o ng tr nh:y”(1 + y) = y 2 + y’ HD giai:- Dat .y = z(y) ⇒ z = zdz dy. . thay vao phu o ng tr nh:dy dz = z+1 y+1⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ • C1 = 0 ⇒ (∗) • C1 = 0 ⇒ (∗)Ngoai ra cho chody = dx (∗) C1 y + C1 − 1y =C −x 1 ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1 y = C, y = C − x; 2 x2 1 ln |C1 y + C1 − 1| = x + C2 C1y=Cla nghi^m. e . To m lai nghi^m t^ ng qua t: e o . .7). . nh: Giai phu o ng try = y2 − ’ HD giai: Bi^ n d o i (3) v^ dang: x2 y = (xy)2 − 2 (∗) e ^ e . - at z = xy ⇒ z = y + xy thay vao (∗) suy ra: D .xz = z 2 + z − 2 ⇔V^y TPTQ: a .z2dx dz = ⇔ +z−2 x3z−1 = Cx z+xxy − 1 = Cx3 . xy + 2 yy” + y 2 = 18). . nh: Giai phu o ng tr’ HD giai:- Dat .y = z(y) ⇒ y” = z.dz dyz C1 dy ⇔ z2 = 1 + 2 dz = 2 1−z y y dy C1 dy ⇒ =± 1+ 2 ⇔± = dx ⇒ y 2 + C1 = (x + C2 )2 dx y C1 1+ 2 y 2 2 Nghi^m t^ ng qua t: y + C1 = (x + C2 ) e o .. . Bi^ n d o i phu o ng tr e ^ nh v^: e9). . Giai phu o ng tr nh:√ 2x(1 + x)y − (3x + 4)y + 2x 1 + x = 0’ HD giai: y − dy = y3x + 4 1 .y = − √ ; x = 0, x = −1 2x(x + 1) x+1. . Nghi^m t^ ng qua t cu a phu o ng tr e o nh thu^n nh^ t: a a .3x + 4 2 1 Cx2 dx = ( − )dx ⇔ y = √ 2x(x + 1) x 2(x + 1) x+1www.VNMATH.com Bi^ n thi^n h ng s^ : e e a o3C =− V^y nghi^m t^ ng qua t: a e o . .1 1 ⇒ C = − + ε. 2 x x x2 1 y=√ ( + ε) x+1 x y(0) = 0 y (0) = 010). . Giai phu o ng tr nh:y” = e2y thoa’ HD giai:- Dat .z = y → y” = z.dz dy. . . phu o ng tr nh tro thanhz.z2 e2y dz = e2y ⇔ = +ε dy 2 21 a u o y (0) = y(0) = 0 ⇒ ε = − . V^y z 2 = e2y − 1. T. d : . 2 √ dy √ 2y dy ’ ´ √ = e −1⇒ z= = x + ε. d ˆ i biˆ n t = e2y − 1 ¯o e dx e2y − 1 √ arctg e2y − 1 = x + ε 1 y(0) = 0 ⇒ ε = 0. V^y nghi^m ri^ng thoa d i^u ki^n d bai: y = ln(tg 2 x + 1). a e e e e ^ e . . . 211). . nh: T m nghi^m ri^ng cua phu o ng tr e e . ~ thoa ma n d u ki^n d au i^ e e ^ .xy + 2y = xyy y(−1) = 1.- . Du a v^ e’ HD giai:. . nh lai: Vi^ t phu o ng tr e .. . nh ta ch bi^ n: e phu o ng tr t ch ph^n t^ ng qua t: a o ri^ng c^n t e a m la: x(1 − y)y = −2y ; 1−y dx dy = −2 y xdoy(−1) = 1n^n ey ≡ 0.x2 ye−y = C .. . Thay d i^u ki^n vao ta d u o c e e . .C=x2 ye1−y = 1. y = ux,. . ~ nh: ha y giai phu o ng tr1 . eV^y t a ch ph^n a .12) B ng ca ch d at a .xdy − ydx −x2 − y 2 dx = 0. (x > 0). . gia n u o c . . ’ - nh . √ HD giai: Dat y = ux; du = udx + xdu thay vao phu o ng tr . .va ~ 1 − u2 dx = 0. Ro rang u − ±1 la nghi^m. khi u ≡ ±1 d u.a phu o ng e . du dx . TPTQ: arcsin u − ln x = C (do x > 0). = 1 − u2 x y . . V^y NTQ cu a phu o ng tr a = ln x + C . nh: y = ±x; arcsin . x ...