§5. DÃY SỐ HỘI TỤ VÀ DÃY SỐ PHÂN KỲ

1) Định nghĩa dãy số: Một hàm số x xác định trên tập hợp các số tự nhiên được gọi là dãy số. Đối với dãy số, người ta thường viết xn thay cho kiểu viết thông thường của hàm số là x(n) , với mỗi n được ký hiệu là xn Tập hợp xnn. Dãy số nàyhoặc viết gọn là xn .nđược gọi là miền giá trị của dãy số. Dãysố được gọi là bị chặn trên hoặc bị chặn dưới hoặc là bị chặn nghĩa là miền giá trị của dãy có tính chất bị chặn trên, bị...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
§5. DÃY SỐ HỘI TỤ VÀ DÃY SỐ PHÂN KỲ §5. DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ VAØ DAÕY SOÁ PHAÂN KYØ1) Ñònh nghóa daõy soá: Moät haøm soá x xaùc ñònh treân taäp hôïp caùc soá töï nhieân ñöôïcgoïi laø daõy soá. Ñoái vôùi daõy soá, ngöôøi ta thöôøng vieát xn thay cho kieåuvieát thoâng thöôøng cuûa haøm soá laø x(n) , vôùi moãi n . Daõy soá naøyñöôïc kyù hieäu laø xn hoaëc vieát goïn laø xn . n Taäp hôïp xn ñöôïc goïi laø mieàn giaù trò cuûa daõy soá. Daõy nsoá ñöôïc goïi laø bò chaën treân hoaëc bò chaën döôùi hoaëc laø bò chaën nghóa laømieàn giaù trò cuûa daõy coù tính chaát bò chaën treân, bò chaën döôùi hoaëc laøbò chaën. Cho soá vaø hai daõy xn , yn thì ta coù theå laäp ra nhieàu daõy xnsoá môùi nhö yn ; xn yn vaø (neáu xn ; xn yn ; xn yn ).yn 0, n2) Daõy soá hoäi tuï vaø daõy soá phaân kyø : Daõy soá xn ñöôïc goïi laø coù giôùi haïn hoaëc laø hoäi tuï nghóa laøtoàn taïi moät soá thöïc x sao cho 0, p ,n p, xn xSoá x ñöôïc goïi laø giôùi haïn cuûa daõy (xn) vaø ñöôïc kyù hieäu laø x lim xn n x khi nhay vieát goïn laø x lim xn , hoaëc laø xn . Daõy soá khoâng coù giôùi haïn hay khoâng hoäi tuï ñöôïc goïi laø daõy soáphaân kyø.Heä quaû. (i) lim xn x lim(xn x) 0. (ii) lim xn lim xn 0 0.3) Daõy soá Cauchy: Daõy soá (xn) ñöôïc goïi laø daõy Coâ-si nghóa laø 0, p , n m p, xn xm4) Söï phaân kyø ra voâ cöïc : Daõy soá ( xn ) ñöôïc goïi laø phaân kyø ra döông voâ cöïc hoaëc tieán radöông voâ cöïc ( xn ) nghóa laø: M 0, p ,n p, xn M.Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung Daõy soá ( xn ) ñöôïc goïi laø phaân kyø ra aâm voâ cöïc hoaëc tieán ra aâmvoâ cöïc ( xn ) nghóa laø: M 0, p ,n p, xn M.Baøi taäp1. Duøng ñònh ngh óa, haõy chöùng minh daõy soá (xn) ñònh bôûi n 1 a) xn , hoäi tuï veà . ,n 2n 3 2 n2 1 b) xn , hoäi tuï veà ½. ,n 2 2n n12. a) C/m raèng neáu daõy soá (xn) hoäi tuï (veà x) thì daõy soá ñoù bò chaën. b) C/m raèng neáu daõy soá ( xn) laø daõy Cauchy thì noù bò chaën.3. C/m raèng neáu (xn) coù giôùi haïn thì giôùi haïn laø duy nhaát.4. C/m raèng neáu (xn) hoäi tuï (veà x) thì daõy soá ñoù laø daõy Coâ-si. (Chieàu ngöôïc laïi seõ ñöôïc xeùt ôû baøi hoïc sau). 1 1 15. C/m raèng daõy soá ( sn) ñònh bôûi sn 1 laø daõy 2 2 n2 2 3 Coâ-si. Hdaãn: khi xeùt sn sm , söû duïng k2 k(k 1), k . 1 16. C/m raèng daõy soá ( sn) ñònh bôûi sn khoâng phaûi laø 1 n 2 daõy Coâ-si.7. Cho soá thöïc vaø lim xn x. C/m lim( xn ) x.8. Cho lim xn y . C/m lim( xn x vaø lim yn yn ) x y.9. Cho lim xn y . C/m lim( xn yn ) x vaø lim yn xy.10. a) Cho (xn) hoäi tuï vaø xn n0 (n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù). 0, n C/m lim xn 0. b) Cho hai daõy hoäi tuï ( xn) vaø (yn) vaø xn n0 . C/m yn , n lim xn lim yn . c) Cho hai daõy soá (xn) vaø (yn) hoäi tuï veà cuøng giôùi haïn laø a. Giaû söû (zn) laø daõy soá thoûa xn zn yn , n n0 . Khi ñoù lim zn a. §6. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA DAÕY SOÁ HOÄ ...