500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc

Tài liệu ôn tập môn Toán lớp 12 phần đại số
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
500 bài toán bất đẳng thức chọn lọc 500Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang ♦♦♦♦♦ Vĩnh Long, Xuân M u Tý, 2008500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang 500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c ♦♦♦♦♦1. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 2 2 2 3 2 a 2 + (1− b) + b 2 + (1− c) + c 2 + (1− a ) ≥ . 2 Komal2. [ Dinu Serbănescu ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Ch ng minh r ng abc + (1− a )(1− b)(1− c) < 1 . Junior TST 2002, Romania3. [ Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ngminh r ng b+c c +a a +b + + ≥ a + b + c + 3. a b c Gazeta Matematică4. N u phương trình x 4 + ax3 + 2 x 2 + bx + 1 = 0 có ít nh t m t nghi m th c, thì a 2 + b2 ≥ 8 . Tournament of the Towns, 19935. Cho các s th c x, y, z th a mãn ñi u ki n x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Hãy tìm giá tr l n nh t c abi u th c x3 + y 3 + z 3 − 3xyz .6. Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z = 1 . Ch ng minhr ng ax + by + cz + 2 ( xy + yz + zx )(ab + bc + ca ) ≤ a + b + c . Ukraine, 20017. [ Darij Grinberg] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c 9 + + ≥ . (b + c) 2 (c + a ) 2 2 ( a + b) 4 (a + b + c)8. [ Hojoo Lee ] Cho a, b, c ≥ 0 . Ch ng minh r ng a4 + a2b2 + b4 + b4 + b2c2 + c4 + c4 + c2a2 + a4 ≥ a 2a2 + bc + b 2b2 + ca + c 2c2 + ab . Gazeta Matematică9. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 2 . Ch ng minh r ng a 3 + b 3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b . JBMO 2002 Shortlist10. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z là các s th c dương. Ch ng minh r ng xyz 1 ≤ 4. (1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 72500 Bài Toán B t ð ng Th c Ch n L c Cao Minh Quang Gazeta Matematică11. [ Mihai Piticari, Dan Popescu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki na + b + c = 1 . Ch ng minh r ng 5 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≤ 6 (a 3 + b 3 + c3 ) +1 .12. [ Mircea Lascu ] Cho x1 , x2 ,..., xn ∈ ℝ , n ≥ 2, a > 0 sao cho a2 x1 + x2 + ... + xn = a, x12 + x2 + ... + xn ≤ 2 2 . n −1 Ch ng minh r ng  2a  xi ∈ 0,  , i = 1, 2,..., n .  n 13. [ Adrian Zahariuc ] Cho a, b, c ∈ (0,1) . Ch ng minh r ng b a c b a c + + ≥1 . 4b c − c a 4c a − a b 4a b − b c14. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc ≤ 1 . Ch ng minh r ng a b c + + ≥ a +b+c . b c a15. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c, x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi uki n a + x ≥ b + y ≥ c + z , a + b + c = x + y + z . Ch ng minh r ng ay + bx ≥ ac + xz .16. [ Vasile Cirtoaje, Mircea Lascu ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki nabc = 1 . Ch ng minh r ng ...