§7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ

1) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy: Cho hai dãy số hội tụ (xn) và (yn) và cho số thực (i) lim( xn yn ) lim xn lim yn (ii) lim( xn ) (iii) Nếu lim yn. Khi đólim xn và lim( xn yn )lim xn . lim yn .0 và yn.0, nn0 (n0 là số tự nhiên nào đó) thìlimxnynlim ynlim xn2) Giới hạn bảo toàn thứ tự các dãy: Cho hai dãy số hội tụ (xn) và (yn) (i) Nếu xn yn , n n0 (với n0 nào đó) thì lim xn (ii) [tiêu chuẩn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
§7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ §7. CAÙC TÍNH CHAÁT CUÛA DAÕY SOÁ HOÄI TUÏ1) Giôùi haïn baûo toaøn caùc pheùp tính cuûa daõy: Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn) vaø cho soá thöïc . Khi ñoù(i) lim( xn yn ) lim xn lim yn(ii) lim( xn ) lim xn vaø lim( xn yn ) lim xn . lim yn .(iii) Neáu lim yn 0 vaø yn 0, n n0 (n0 laø soá töï nhieân naøo ñoù) thì xn lim xnlim . yn lim yn2) Giôùi haïn baûo toaøn thöù töï caùc daõy: Cho hai daõy soá hoäi tuï (xn) vaø (yn)(i) Neáu xn yn , n n0 (vôùi n0 naøo ñoù) thì lim xn lim yn .(ii) [tieâu chuaån “giôùi haïn keïp”] Neáu lim xn lim yn a vaø coù theâmdaõy soá (an) thoûa xn an yn , n n0 thì lim an a.3) Tính chaát bò chaën cuûa daõy hoäi tuï: daõy soá naøo hoäi tuï thì daõy soáñoù bò chaën. Nhö vaäy, daõy soá naøo khoâng bò chaën thì daõy soá ñoù phaân kyø.4) Caùc giôùi haïn cô baûn: 1(i) Vôùi r > 0, ta coù lim r 0, n n(ii) Vôùi r > 0, ta coù lim n r (iii) lim n n 1, 1, n n n(iv) Vôùi r > 0 vaø , ta coù lim 0, r)n (1 n 1 , ta coù lim xn(v) Vôùi x 0. nChöùng minh. 1/ r 1 0 tuøy yù, choïn p 1. Khi ñoù(i) Vôùi 1 1 n p, 0 Nhö vaäy giôùi haïn ñöôïc chöùng minh theo r pr nñònh nghóa.Sv caàn döï caùc giôø giaûng & thöïc haønh treân lôùp ñeå hieåu toùm taét noäi dung n(ii) Xeùt tröôøng hôïp r > 1 vaø xeùt daõy (xn) ñònh bôûi xn r 1, n . nTheo khai trieån cuûa nhò thöùc Newton thì r xn ) nxn (do (1 rxn 0 ) neân n xn . Duøng tieâu chuaån giôùi haïn keïp thì ,0 n 0, suy ra lim n rlim xn 1. 1 Tröôøng hôïp r = 1 thì hieån nhieân. Khi 0 < r < 1 thì s 1, r 1 1aùp duïng tröôøng hôïp tröôùc, ta coù lim n s 1 lim . Vaäy n lim n r rlim n r 1. n n , xn n 1 0 neân(iii) Vì n(n 1) 2 xn )n 22 n 2, n ...