Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của hàm số
Số trang: 7
Loại file: pdf
Dung lượng: 318.28 KB
Lượt xem: 13
Lượt tải: 0
Xem trước 2 trang đầu tiên của tài liệu này:
Thông tin tài liệu:
Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của hàm số
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của hàm số BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. Do LAISAC Biên soạn.A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU :Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2.Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 .Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT).Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 ≥ 8 ∀x ∈ R.Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 .Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT).Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x)Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 ⇔ 4 − 20 + 2 y ≥ 0 ⇔ y ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1.Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH).Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 ⇔ x = 1 .Ta có bảng biến thiên : x 1 y’ - 0 + y -∞ +∞ 8Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP .Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụthể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc cónhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảyra.Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 ≥ 0 … thì hỏng rồi!BÀI TẬP MINH HOẠ.Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : S = sin x + cos x .HD.cách 1.( BDT). Ta có 1 = sin 2 x + cos 2 x ≤ sin x + cos x = S ⇒ min S = 1 . πS = sin x + cos x ≤ (1 + 1)(sin x + cos x ) = 2 2 sin( x + ) ≤ 2 2 ⇒ MaxS = 2 2 . 4Cách 2.( ĐH) S = sin x + cos x ⇒ S 2 = s inx + cos x + 2 s inx.cos x .Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải cos x + 2 sin x + 3 trong khoảng (−π ; π ) .Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất S = 2 cos x − sin x + 4 cos x + 2 sin x + 3HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình S = phải có nghiệm 2 cos x − sin x + 4⇔ 4 S − 3 = (S + 2) sin x + (1 − 2 S ) cos x có nghiệm 2⇒ (S + 2) 2 + (1 − 2S ) 2 ≥ (4S − 3) 2 ⇒ ≤ S ≤ 2. 11 1− t2 2t xCách 2.( ĐH). Đặt t = tg ⇒ sin x = ; cos x = .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn 2 1+ t2 1+ t2t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả.Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : f = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 . [ ]HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn − 2 ; 2 .Cách 2.Đặt t = x + 2 − x 2 ⇒ ñieàu kieän t .Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PTCách 3.( Vevtơ). Đặt u = ( x;1; 2 − x 2 ), v = (1; 2 − x 2 ; x) ⇒ u.v = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 vàu . v = x 2 + 1 + (2 − x 2 ) . 1 + (2 − x 2 ) + x 2 . = . 3. 3 = 3Ta có : u.v ≤ u . v ⇔ x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 ≤ 3 . ⎧x = k ⎪ ⎪Đẳng thức xảy ra khi ⎨1 = k 2 − x 2 ⇒ x = 1 . ⎪ ⎪ 2 − x 2 = kx ⎩Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x.(1 − y ) = y. 4 − x 2 . xTìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số . y xHD.Điều kiện − 2 ≤ x ≤ 2 .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thì x ≠ 0; y ≠ 0 ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ba phương pháp cơ bản tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của hàm số BA PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ,BIỂU THỨC. Do LAISAC Biên soạn.A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦU :Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số: y= (x + 1)2 + (x – 3)2.Giải . Hàm số viết lại: y = (x2 + 2x + 1) + (x2 – 6x + 9) = 2x2 – 4x + 10 .Cách 1.(Dùng Bất đẳng thức )(BĐT).Ta có y = 2x2 – 4x + 10 = 2(x2 – 2x + 1) + 8 = 2(x - 1)2 + 8 ≥ 8 ∀x ∈ R.Đẳng thức xảy ra khi x = 1 .Vậy GTNN = 8 khi và chỉ khi x = 1 .Cách 2.(Dùng điều kiện phương trình có nghiệm)(PT).Gọi y là giá trị hàm số nên phương trình y = 2x2 – 4x + 10 có nghiệm ( ẩn là x)Phương trình tương đương 2x2 – 4x +10 – y = 0 có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 ⇔ 4 − 20 + 2 y ≥ 0 ⇔ y ≥ 8 . Đẳng thức xảy ra khi phương trình có nghiệm kép x = 1.Do đó GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .Cách 3 .(Dùng phương pháp đạo hàm)( ĐH).Xét hàm số y = 2x2 – 4x + 10 có đạo hàm y’ = 4x - 4 khi y ‘ = 0 ⇔ x = 1 .Ta có bảng biến thiên : x 1 y’ - 0 + y -∞ +∞ 8Dựa vào bảng biến thiên ta có GTNN y = 8 khi và chỉ khi x = 1 .B.NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP .Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dung để tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụthể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc cónhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)Lưu ý: Khi tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất ta luôn chỉ ra trường hợp đẳng thức xảyra.Ta hay nhầm lẫn trong trường hợp đánh giá không đúng cho một bất đẳng thức. Ví dụ trên, nếu không thận trọng ta nói : y= (x + 1)2 + (x – 3)2 ≥ 0 … thì hỏng rồi!BÀI TẬP MINH HOẠ.Ví dụ 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất : S = sin x + cos x .HD.cách 1.( BDT). Ta có 1 = sin 2 x + cos 2 x ≤ sin x + cos x = S ⇒ min S = 1 . πS = sin x + cos x ≤ (1 + 1)(sin x + cos x ) = 2 2 sin( x + ) ≤ 2 2 ⇒ MaxS = 2 2 . 4Cách 2.( ĐH) S = sin x + cos x ⇒ S 2 = s inx + cos x + 2 s inx.cos x .Đặt t = sinx + cosx. Dùng phương pháp đạo hàm để giải cos x + 2 sin x + 3 trong khoảng (−π ; π ) .Ví dụ 2.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất S = 2 cos x − sin x + 4 cos x + 2 sin x + 3HD.cách 1.(PT). Để tồn tại giá trị S thì phương trình S = phải có nghiệm 2 cos x − sin x + 4⇔ 4 S − 3 = (S + 2) sin x + (1 − 2 S ) cos x có nghiệm 2⇒ (S + 2) 2 + (1 − 2S ) 2 ≥ (4S − 3) 2 ⇒ ≤ S ≤ 2. 11 1− t2 2t xCách 2.( ĐH). Đặt t = tg ⇒ sin x = ; cos x = .Biến đổi S thành hàm số hữu tỉ ẩn 2 1+ t2 1+ t2t.Dùng phương pháp đạo hàm hoặc điều kiện phương trình bậc hai có nghiệm ,suy ra kết quả.Ví dụ 3. Tìm gíá trị lớn nhất của biểu thức : f = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 . [ ]HD.cách 1(ĐH).Dùng đạo hàm trực tiếp ,chú ý hàm số liên tục trong đoạn − 2 ; 2 .Cách 2.Đặt t = x + 2 − x 2 ⇒ ñieàu kieän t .Dùng phương pháp đạo hàm, hoặc PTCách 3.( Vevtơ). Đặt u = ( x;1; 2 − x 2 ), v = (1; 2 − x 2 ; x) ⇒ u.v = x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 vàu . v = x 2 + 1 + (2 − x 2 ) . 1 + (2 − x 2 ) + x 2 . = . 3. 3 = 3Ta có : u.v ≤ u . v ⇔ x + 2 − x 2 + x. 2 − x 2 ≤ 3 . ⎧x = k ⎪ ⎪Đẳng thức xảy ra khi ⎨1 = k 2 − x 2 ⇒ x = 1 . ⎪ ⎪ 2 − x 2 = kx ⎩Ví dụ 4. Cho hai số thực x , y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x.(1 − y ) = y. 4 − x 2 . xTìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số . y xHD.Điều kiện − 2 ≤ x ≤ 2 .Để tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thì x ≠ 0; y ≠ 0 ...
Tìm kiếm theo từ khóa liên quan:
ôn thi đại học- cao đẳng phương trình đường thẳng đại số tuyến tính phương trình lượng giác tổ hợpGợi ý tài liệu liên quan:
-
Cách tính nhanh giá trị riêng của ma trận vuông cấp 2 và cấp 3
4 trang 252 0 0 -
1 trang 236 0 0
-
Hướng dẫn giải bài tập Đại số tuyến tính: Phần 1
106 trang 203 0 0 -
Giáo trình Phương pháp tính: Phần 2
204 trang 178 0 0 -
Khai phóng năng lực Toán lớp 11 - Nguyễn Hoàng Thanh
104 trang 128 0 0 -
Đại số tuyến tính - Bài tập chương II
5 trang 88 0 0 -
Giáo trình Đại số tuyến tính (Giáo trình đào tạo từ xa): Phần 1
37 trang 64 0 0 -
Giáo trình Toán kinh tế: Phần 2
60 trang 64 0 0 -
Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Bài tập tuyển chọn (Tái bản lần thứ 3): Phần 2
234 trang 60 0 0 -
XÁC SUẤT THỐNG KÊ : CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
26 trang 53 0 0