Bài giảng chương 4 : Hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính với những biến số . Mời các bạn tham khảo bài giảng dưới đây để hiểu thêm về hệ phương trình này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng chương 4 : Hệ phương trình tuyến tính Ch¬ng 4 HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh4.1 Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnhA. Tãm t¾t lý thuyÕt1. D¹ng tæng qu¸t cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh HÖ m ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn lµ hÖ cã d¹ng: a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm  Trong ®ã aij (i= 1, m ;j= 1, n ) vµ bi (i= 1, m ) lµ c¸c sè cho tríctrªn trêng K, cßn x1,x2,...,xn lµ n Èn sè cÇn t×m. NÕu b1=b2=...=bm=0 th× hÖ ®îc gäi lµ hÖ tuyÕn tÝnhthuÇn nhÊt, ngîc l¹i hÖ ®îc gäi lµ hÖ tuyÕn tÝnh kh«ngthuÇn nhÊt. NÕu m=n ta ®îc mét hÖ vu«ng. §Æt:  a11 a12 ... a1n   a11 a12 ... a1n b1   x1   b1          A=  a21 a22 ... a2 n  A*=  a21 a22 ... a2 n b2  X=  x2  b=  b2  ...   ...   ...   ...           am1 am2 ... amn   am1 am2 ... amn bm   xn   bm  Ta gäi A lµ ma trËn c¸c hÖ sè, A* lµ ma trËn c¸c hÖ sèmë réng, X lµ vÐc t¬ Èn vµ b vÐc t¬ cét vÕ ph¶i cña hÖ.Khi ®ã cã hÖ díi d¹ng ma trËn 140  a11 a12 ... a1n   x1   b1         a21 a22 ... a2 n   x2  =  b2   ...   ...   ...         am1 am2 ... amn   xn   bm 2 §iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm §Þnh lý (§Þnh lý Kronecker- Capeli) HÖ ph¬ng tr×nh a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm cã nghiÖm khi vµ chØ khi r(A)=r(A*). §Þnh lý : HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khir(A)=r(A*)=n (n lµ sè Èn cña hÖ). Chó ý: V× trong kh«ng gian Km mét hÖ ®éc lËp tuyÕntÝnh cã kh«ng qu¸ m phÇn tö nªn hÖ ph¬ng tr×nh chØ cãthÓ cã nghiÖm duy nhÊt khi m≥ n.4.2 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh1. HÖ Cramer §Þnh nghÜa : HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi n ph¬ngtr×nh vµ n Èn sè mµ ma trËn c¸c hÖ sè cña nã kh«ng suybiÕn gäi lµ hÖ Cramer. HÖ qu¶ : HÖ Cramer cã vµ chØ cã mét nghiÖm. C«ng thøc nghiÖm 1 n ∆ xi= ∑ b j A ji = i (i=1,2,...,n) ∆ j =1 ∆Trong ®ã ∆=det(A) cßn ∆ i lµ ®Þnh thøc nhËn ®îc tõ ∆b»ng c¸ch thay cét i bëi cét b.2. Ph¬ng ph¸p Khö_Gauss Trong c¸c ph¬ng ph¸p khö chóng ta sö dông c¸c phÐpbiÕn ®æi ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: 141 (i) Nh©n hai vÕ cña mét ph¬ng tr×nh trong hÖ víi cïngmét sè kh¸c kh«ng. (ii) Céng mét ph¬ng tr×nh víi ph¬ng tr×nh kh¸c sau khinh©n ph¬ng tr×nh ®ã víi mét sè. (iii) §æi vÞ trÝ hai ph¬ng tr×nh trong hÖ cho nhau. Nh vËy c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng cña hÖ chÝnh lµc¸c phÐp biÕn ®æi Gauss theo hµng cña ma trËn c¸c hÖsè më réng. a. Khö Gauss cho hÖ n ph¬ng tr×nh n Èn sè XÐt hÖ n ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn: a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  ... an1 x1 + an 2 x2 +...+ ann xn = bn Víi A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. Néi dung cña khö Gauss gåm hai bíc:ι (i) Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t¬ng ®¬ng lÇn lît khö c¸c hÖ sè trong phÇn tam gi¸c díi cña c¸c cét ®a hÖ ban ®Çu vÒ hÖ tam gi¸c trªn:  1 u12 ... u1n   x1   b1        0 1 ... u2 n   x2  =  b2   ...   ...   ...        0 0 ... 1   xn   bn  Muèn vËy ta thùc hiÖn khö n lÇn vµ ë lÇn khö thø i (i=1, n ) ta thùc hiÖn c¸c bíc sau aij−1 i bii −1 1. a = i (j= i, n ) , bii = i −1 víi aii ≠ 0 ij a i −1 ii aii−1 i 2. k= i + 1, n a kj = a kj−1 − aij a ki−1 (j= i, n ) i i i i 142 bki = bki −1 − bii a ki−1 i i −1 i −1 NÕu aii = 0 vµ a mi ≠ 0 (i ...