Bài giảng chuyên đề Cơ sở toán học của mã chống nhiễu - Bùi Văn Thành

Bài giảng chuyên đề "Cơ sở toán học của mã chống nhiễu" trình bày các cơ sở toán học của mã khối tuyến tính, cách xây dựng các loại mã khối tuyến tính, các cấu trúc đại số như nhóm, trường và đặc biệt là các trường GF(2) và GF(2m), đây là các trường có ứng dụng đặc biệt vào trong việc xây dựng các mã khối tuyến tính chống nhiễu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng chuyên đề Cơ sở toán học của mã chống nhiễu - Bùi Văn ThànhTrường Đại Học Công Nghệ Thông Tin KHOA MẠNG & TRUYỀN THÔNG BÀI GIẢNG CHUYÊN ĐỀ: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA MÃ CHỐNG NHIỄU Bùi Văn Thành thanhbv@uit.edu.vn Năm 2013 GIỚI THIỆU Chuyên đề này trình bày các cơ sở toán học của mã khối tuyến tính. Các kiến thức này là rất quan trọng để hiểu được cách xây dựng các loại mã khối tuyến tính. Các khái niệm được trình bày bao gồm các cấu trúc đại số như nhóm, trường và đặc biệt là các trường GF(2) và GF(2m), đây là các trường có ứng dụng đặc biệt vào trong việc xây dựng các mã khối tuyến tính chống nhiễu. Trang 2 NỘI DUNG1/ MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN.2/ TRƯỜNG GF(2) VÀ CÁC ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG GF(2)3/ TRƯỜNG GF(2m) Trang 3 1/ MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Phép toán đóng  Cho G là một tập hợp, một phép toán hai ngôi f được gọi là đóng trên G nếu f có dạng f:GGG tức là nếu a, b  G thì f(a, b)  G. Chú ý  f(a, b) có một cách viết tương đương là afb và ngược lại f(b, a) còn được viết là bfa. Chẳng hạn nếu f là phép cộng thì thay vì viết +(a, b) chúng ta thường viết là a + b.  Kể từ đây trở về sau khi nói đến một phép toán nếu chúng ta không nói gì thêm thì có nghĩa là phép toán này có tính đóng. Trang 4 Một số khái niệm cơ bản (tt) Tính kết hợp  Một phép toán hai ngôi f trên G được gọi là có tính kết hợp nếu  a, b, c  G thì (afb)fc = af(bfc) Tính giao hoán  Một phép toán hai ngôi f trên G được gọi là có tính giao hoán nếu  a, b  G thì afb = bfa Ví dụ  Trên tập số thực khác 0, phép cộng và phép nhân có tính kết hợp và giao hoán nhưng phép trừ và phép chia không có tính kết hợp và giao hoán. Trang 5 Nhóm Tính phân phối  Phép toán f1 được gọi là có tính phân phối đối với phép toán f2 nếu  a, b, c  G thì af1(bf2c) = (af1b)f2(af1c)  Chẳng hạn trên tập số thực, phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng vì  a, b, c  R a(b+c) = (ab)+(ac) Nhóm  Một tập G  , với một phép toán hai ngôi f được gọi là một nhóm nếu thoả 3 điều kiện sau: (1) f có tính kết hợp. Trang 6 Nhóm (tt) (2) G chứa phần tử e, sao cho  a  G thì afe = efa = a. e được gọi là phần tử trung hoà (đối với một số phép toán e còn được gọi là phần tử đơn vị) (3) Mọi phần tử đều có phần tử đối xứng, tức là  a  G, tồn tại phần tử b  G sao cho afb = bfa = e  Chẳng hạn, trên tập R nếu f là phép cộng thì phần tử trung hoà là số 0, còn trên tập số thực khác 0 nếu f là phép nhân thì phần tử trung hoà là 1 và còn được gọi là phần tử đơn vị. Nhóm giao hoán  Một nhóm mà phép toán f có tính giao hoán thì được gọi là nhóm giao hoán. Trang 7 Nhóm (tt) Nhóm hữu hạn, nhóm vô hạn  Một nhóm có số phần tử hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn, một nhóm có số phần tử vô hạn được gọi là nhóm vô hạn. Nhóm con  Cho G là một nhóm. Một tập H con của G được gọi là một nhóm con nếu H đóng với phép toán hai ngôi của G và thoả điều kiện của một nhóm. Trang 8 Phép cộng và nhân modulo Phép cộng modulo và phép nhân modulo  Cho một số nguyên dương m xác định. Xây dựng một tập số nguyên sau G = {0, 1, …, m –1}. Với + là phép cộng thông thường. Định nghĩa phép toán mới  như sau và gọi là phép cộng modulo  a, b  G thì a  b = (a + b) mod m  Tương tự với  là phép nhân thông thường. Định nghĩa phép toán mới  như sau và gọi là phép nhân modulo  a, b  G thì a  b = (a  b) mod m Trang 9 Ví dụ Tập R là một nhóm giao hoán đối với phép cộng và là một nhóm vô hạn. Tập R – {0} là một nhóm giao hoán đối với phép nhân và là một nhóm vô hạn. Với m là một số nguyên dương xác định, tập G = {0, 1, …, m – 1} với phép cộng modulo là một nhóm giao hoán và là một nhóm hữu hạn. Hai bảng sau đây trình bày lần lượt trường hợp m = 5 và m = 6. Trang 10 Ví dụ (tt) ...