Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 Bài toán phẳng trong tọa độ descartes cung cấp cho người học những kiến thức như: Hai trường hợp của bài toán phẳng; Bài toán ứng suất phẳng; Bài toán biến dạng phẳng; So sánh và kết luận chung; Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng; Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 - ĐH Kiến trúc Hà NộiCHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCơ học môi trường liên tục CHƯƠNG 6 – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1. HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TOÁN PHẲNG I. Khái niệm : Trong nhiều bài toán kỹ thuật, vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng hay ứng suất trong 1 mặt phẳng (Mặt phẳng này được qui ước là mặt phẳng oxy). Các bài toán này được gọi là các bài toán phẳng. Bài toán phẳng chia ra 2 loại : 1. Bài toán ứng suất phẳng : Nếu chỉ tồn tại ứng suất trong mặt phẳng xoy. 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu chỉ tồn tại biến dạng trong mặt phẳng xoy. Hai bài toán này khác nhau về mặt vật lý song rất giống nhau về mặt toán học. Giải bài toán phẳng về mặt toán học được đơn giản rất nhiều so với bài toán không gian.CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCơ học môi trường liên tục II. Bài toán ứng suất phẳng : Xét những mặt phẳng, ví dụ tấm tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố đều trên bề dày tấm và song song với mặt trung bình như hình vẽ. Ta nhận thấy mặt bên của tấm không có tải trọng, ứng suất là hằng theo bề dày. Do đó điều kiện của bài toán sẽ là : σz = Txz = Tyz = 0 (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày là tự do nên : εz ≠ 0 (b) Các điều kiện (a), (b) là định nghĩa của bài toán ứng suất phẳng. Ân số của bài toán gồm có:CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCơ học môi trường liên tục Các ứng suất : σx, σy, Txy. Các biến dạng : εx, εy, γxy, εz ≠ 0. Theo định luật Hooke, từ (a) ta có : γxz =γyz = 0 ; εy = (σy - µσx) εx = (σx - µσy) ; εz =- (σx + σy) (c) γxy = = Txy Từ biểu thức (c) ta có các biến dạng đều tính theo 3 ẩn số ứng suất là σx, σy, Txy với E, µ là 2 hằng số đàn hồi của vật liệu. III. Bài toán biến dạng phẳng : Khi tính những vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng không đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm... ta thường xét 1 đoạn vật thể có chiều dài bằng 1 đơn vị.CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCơ học môi trường liên tục Như thế, bài toán đối với vật thể lăng trụ trở thành bài toán tấm phẳng như biểu diễn trên hình vẽ sau : Nhận xét tấm bị kẹp giữa chiều dài của vật thể nên không thể có biến dạng dài theo phương bề dày z, và mặt bên của tấm sẽ chịu những áp lực pháp tuyến theo phương z. Do đó, điều kiện của bài toán đối với tấm trong trường hợp đang xét sẽ là : εz = γxz = γyz = 0 (d) và σz ≠ 0 (e) Các điều kiện (d), (e) là định nghĩa của bài toán biến dạng phẳng. Ẩn số của bài toán gồm có: Các ứng suất : σx, σy, Txy, σz≠0 Các biến dạng : εx, εy, γxy. Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = 0CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCơ học môi trường liên tục - Còn ứng suất pháp σz sẽ được tìm từ biểu thức εz = 0 εz = =0 Vậy σy = µ(σx + σy). Quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng còn sẽ là : εx = = εx = Tương tự εy = (*) γxy = Txy Đặt E1 = ; µ1 = (g) (*)⇔ εx = (σx - µ1σy) ; εy = (σy - µ1σx) ; (f) γxy = Txy = TxyCHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCơ học môi trường liên tục IV. So sánh và kết luận chung : 1. Trong cả 2 bài toán phẳng, các ẩn số chính về ứng suất và về biến dạng là như nhau : σx, σy, Txy, εx, εy, γxy. → Những ứng suất hay biến dạng còn lại đều có thể biểu diễn qua các ẩn số chính. 2. Quan hệ giữa các ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) là hoàn toàn tương tự như nhau, sự khác nhau chỉ thể hiện ở chỗ : - Trong bài toán ứng suất phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E, µ còn trong bài toán biến dạng phẳng ta dùng các hằng số đàn hồi E1, µ1 theo cách đặt (g). 3. Do sự giống nhau về mặt toán học như vậy nên phép giải của 2 bài toán hoàn toàn như nhau. 6.2. Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng 1. Về mặt tĩnh học : Phương trình cân bằng Cauchy : + fx = 0 + fy = 0 (6.1)CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTESCơ học môi trường liên tục 2. Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy : εx = ; εy = ...