Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 - ĐH Kiến trúc Hà Nội

Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 Bài toán phẳng trong hệ tọa độ cực cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phương trình cơ bản; Các phương trình hình học; Các phương trình vật lý; Giải bài toán theo ứng suất; Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài toán PhơLamăng). Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 - ĐH Kiến trúc Hà Nội CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCơ học môi trường liên tục CHƯƠNG VII – BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC Khi giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi, trong một số trường hợp dùng tọa độ độc cực sẽ tiện lợi hơn tọa độ Descartes, ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm… Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r. 7.1. Các phương trình cơ bản 1. Các phương trình vi phân cân bằng : Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng. Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt. - 2 mặt trụ đồng trục cách nhau một khoảng dr. - 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ. - 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCơ học môi trường liên tục Hình 7.1 + Ký hiệu: r là trục theo hướng bán kính, θ là trục đi qua điểm đang xét A(r,θ,z) và vuông góc với r, ứng suất trên các mặt sẽ được ký hiệu như sau: - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ,z) có các thành phần ứng suất: σr, Trθ. + Trên mặt đi qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có các thành phần ứng suấ: , - fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến. CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCơ học môi trường liên tục Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 7.1 : Vì biến dạng bé nên Sau khi bỏ qua các nguyên lượng vô cùng bé và chia cho r.dr.dθ ta được: (7.1) Tương tự chiếu các lực lên phương θ ta được (7.2) + Định luật đối ứng của ứng suất tiếp : Trθ = Tθr (7.3) CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCơ học môi trường liên tục 2. Các phương trình hình học: Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là u, v. Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là: và Chuyển vị của điểm C(r, θ+dθ) theo 2 phương là: và Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ Hình 7.2 * Trước tiên chỉ xét biến dạng do u gây ra khi giữ nguyên góc θ. Sau biến dạng ABCD trở thành A’B’C’D’: +Các biến dạng dài tương đối: ; ; +Biến dạng góc: (a) CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCơ học môi trường liên tục * Xét biến dạng do chuyển vị v gây ra khi giữ nguyên dr. Sau biến dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’: (Hình 7.3) + Biến dạng dài: = + Biến dạng góc: γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b) = Có số hạng (NA”M) = trong γ2 là do sự quay toàn phân tố ABCD đối với điểm 0. CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCơ học môi trường liên tục Cộng (a) và (b) ta có được các quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị trong tọa độ cực: (7.4) 3. Các phương trình vật lý: Trong tọa độ cực, có thể có được các phương trình của định luật Hooke trong tọa độ Descartes bằng cách thay x, y bằng r, θ: a. Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: εr = (σr – μσθ) εθ= (σθ – μσr) (7.5a) γrθ = Trθ = Trθ CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰCCơ học môi trường liên tục b. Biểu thức ứng suất qua biến dạng: σr = (εr – μεθ) σθ = (εθ – μεr) (7.5b) Trθ = G.γrθ Ở bài toán biến dạng phẳng thay E, μ bằng E1, μ1 theo cách đặt: ; 7.2. GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT. - Phương trình LeVy 2(σx + σy) = 0 là phương trình giải bài toán phằng theo ứng suất trong hệ tọa độ Descartes. Ta hãy biểu diễn phương trình đó trong hệ tọa độ cực: 2 (σx + σy) = 0 σx + σy = σr + σθ = S 2 (σr + σθ) = 0 (7-6) * Liên hệ giữa các thành phần tọa độ Descartes và tọa độ cực: ...