Bài giảng Đại số: Phần 3 - TS. Nguyễn Bằng Giang

Bài giảng Đại số: Phần 3 Không gian Euclid, cung cấp cho người học những kiến thức như: Không gian Euclid; Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương; Đường và mặt bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số: Phần 3 - TS. Nguyễn Bằng Giang Phần III Không gian EuclidTS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 167 / 273 Nội dung chương 3 1 Không gian Euclid 2 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương 3 Đường và mặt bậc haiTS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 168 / 273 Không gian Euclid Tiết 1 Không gian EuclidTS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 169 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid 1 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Phép biến đổi trong không gian Euclid Phép biến đổi đối xứng Chéo hóa trực giaoTS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 170 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Mục 1 Định nghĩa tích vô hướng và không gian EuclidTS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 170 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Tích vô hướng Định nghĩa Cho E là không gian véc tơ thực. Ánh xạ E 2 → R được gọi là tích vô hướng, kí hiệu hx, yi, nếu nó thỏa mãn các tính chất hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ E và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ E. hαx, yi = αhx, yi với mọi α ∈ R và mọi x, y ∈ E. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ E. Không gian véc tơ E hữu hạn chiều cùng với tích vô hướng hx, yi được gọi là không gian Euclid. Tính chất: hx, 0i = 0, với ∀x ∈ ETS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 171 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Ví dụ Trong không gian các véc tơ hình học ~a · ~b = |~a| · |~b| cos(~a, ~b) Trong không gian véc tơ E cho hệ cơ sở {e1 , e2 , . . . , e n } và với 2 véc tơ bất kỳ Xn n X y= yi e i , x = xi e i i=1 i=1 Biểu thức n X hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = xi yi i=1 là một tích vô hướng. TVH này trên không gian R n được gọi là tích vô hướng Euclid.TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 172 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Ví dụ (tiếp...) Trong không gian R 3 cho hu, vi = u1 v1 + 2u2 v2 + 4u3 v3 với u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) là TVH. Một cách tổng quát, biểu thức n X hx, yi = αi xi yi với αi > 0 i=1 là một tích vô hướng. Trong kg Pn [x], biểu thức Z 1 hf(x), g(x)i = f (x)g(x)dx, ∀f , g ∈ Pn [x] 0 thỏa mãn các yêu cầu của TVH.TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 173 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Bất đẳng thức Schwarz và bất đẳng thức tam giác Định nghĩa (Độ dài véc tơ) Trong không gian Euclid E, độ dài của véc tơ x ∈ E, kí hiệu |x| là đại lượng cho bởi p |x| = hx, xi. Định lý Trong không gian Euclid E ta luôn có các bất đẳng thức sau i) Bất đẳng thưc Schwarz: |hu, vi| ≤ |u| · |v| u,v ∈ E ii) Bất đẳng thức tam giác: |u + v| ≤ |u| + |v| u,v ∈ ETS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 174 / 273 Không gian Euclid Định nghĩa tích vô hướng và không gian Euclid Góc giữa hai véc tơ Định nghĩa (Góc giữa hai véc tơ) Trong không gian Euclid, góc giữa hai véc tơ u,v là góc ϕ 0≤ϕ≤π thỏa mãn hu, vi cos ϕ = |u| · |v| Định nghĩa (Véc tơ trực giao) Trong không gian Euclid, hai véc tơ u, v được gọi là trực giao với nhau nếu hu, vi = 0 Tính chất Nếu v trực giao với các véc tơ v1 , v2 , . . . , vk , khi đó v trực giao với mọi véc tơ trong không gian con L(v1 , v2 , . . . , vk ). Tập hợp các véc tơ trực giao với các véc tơ v1 , v2 , . . . , vk là không gian con của E.TS. Nguyễn Bằng Giang BM TOÁN HỌC ĐẠI SỐ 9 - 2020 175 / 273 ...