Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Ma trận; Các phép biến đổi sơ cấp; Hạng của ma trận; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính 1 /46 Nội dung 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp 3. Hạng của ma trận 4. Hệ phương trình tuyến tính 2 /46 1. Ma trận v  Định nghĩa ma trận: Ma trận cỡ mxn là bảng số (thực hoặc phức) hình chữ nhật có m dòng và n cột . Cột j ⎡ a11 ... a1 j ... a1n ⎤ ⎢ ! ! ! ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢ ai1 ... aij ... ain ⎥ Dòng i ⎢ ! ! ! ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣am1 ... amj ... amn ⎥⎦ 3 /46 1. Ma trận Ví dụ 1. 1 4 2 A= 02 5( − ) 2×3 A là ma trận thực cỡ 2x3 gồm 2 dòng và 3 cột Phần tử của A: a11 = 1; a12 = 4; a13 = −2; a21 = 0; a22 = 2; a23 = 5 Ví dụ 2 ⎛1 + i 2⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 3 − i i ⎠2×2 4 /46 1. Ma trận Ma trận A có m dòng và n cột thường được ký hiệu bởi A = (aij ) m×n Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn trên trường K (K là R hoặc C) được ký hiệu là Mmxn(K) Định nghĩa ma trận không Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là ma trận không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j). ⎛ 0 0 0⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0⎠ 5 /46 1. Ma trận Phần tử khác không đầu tiên của một hàng kể từ bên trái được gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. Phần tử cơ sở ⎛1 0 3⎞ ⎜0 1 2⎟ Không là phần tử cơ sở ⎜0 0 0⎟ Dòng không có phần tử cơ sở ⎝ ⎠ Định nghĩa ma trận dạng bậc thang 1. Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng 2. Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. 6 /46 1. Ma trận ⎛2 1 0 3− 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 7 2 6 ⎟ Không là ma A= trận bậc ⎜0 4 1 −2 5 ⎟ thang ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 0 0 ⎠ 4×5 ⎛ 2 1 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 0 0 3 ⎟ Không là ma trận bậc thang ⎜0 0 0 5 ⎟ ⎝ ⎠ 7 /46 1. Ma trận Ví dụ ⎛1 3 0 2 − 2 ⎞ Là ma trận dạng ⎜ ⎟ bậc thang ⎜ 0 0 7 1 4 ⎟ A= ⎜0 0 0 −2 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 0 0 0 ⎠ 4×5 ⎛ 1 2 0 − 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜0 0 1 3 ⎟ Là ma trận dạng bậc thang ⎜0 0 0 7 ⎟ ⎝ ⎠ 8 /46 1. Ma trận Định nghĩa ma trận chuyển vị Chuyển vị của A = (aij ) là ma trận T A = (aij ) cỡ m×n n×m nXm thu được từ A bằng cách chuyển dòng thành cột. Ví dụ ⎛ 2 4⎞ ⎛ 2 −1 3⎞ T ⎜ ⎟ A=⎜ ⎟ A = ⎜ −1 0 ⎟ ⎝ 4 0 9 ⎠ 2×3 ⎜ 3 9⎟ ⎝ ⎠3×2 9 /46 1. Ma trận Định nghĩa ma trận vuông Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n. ⎛ 2 − 1⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 3 2 ⎠ 2×2 Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường số K được ký hiệu bởi M n (K) 10 /46 Các phần tử a11, a22,…,ann tạo nên đường chéo chính của ma trận vuông A. ⎛ 2 3 1 −1 ⎞ ⎜ 3 4 0 5⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 1 3 7⎟ ⎜ 2 −1 6 8 ⎟⎠ ⎝ Ma trận đường chéo là ma trận có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Lúc đó ma trận đường chéo được ký hiệu: diag(a11, a22,…,ann) với aii là các phần tử nằm trên đường chéo chính. 11 /46 1. Ma trận Định nghĩa ma trận tam giác trên ( ) Ma trận vuông A = aij n×n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0, ∀i > j ⎛ 2 −1 3 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 3 6 ⎟ ⎜ 0 0 − 2⎟ ⎝ ⎠ Định nghĩa ma trận tam giác dưới Ma trận vuông A = aij được gọi là ma trận tam giác ( ) n×n dưới nếu aij = 0, ∀i < j ⎛2 0 0 ⎞ A = ⎜4 1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 7 −2 ⎟ ⎝ ⎠ 12 /46 1. Ma trận Định nghĩa ma trận đơn vị Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng 1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j; và aii = 1 với mọi i). ⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ I = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1 ⎟⎠ ⎝ Định nghĩa ma trận đối xứng thực Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT) ⎛ 2 −1 3 ⎞ ⎜ ⎟ ...