Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (2020)

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 2: Không gian véctơ, cung cấp cho người học những kiến thức như phụ thuộc tuyến tính; độc lập tuyến tính; tổ hợp tuyến tính; tập sinh; cơ sở; số chiều; hạng của họ véctơ. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - TS. Đặng Văn Vinh (2020) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương 2: Không gian véctơ TS. Đặng Văn Vinh Bộ môn Toán Ứng Dụng Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Tp.HCM Tài liệu: Đặng Văn Vinh. Đại số tuyến tính. NXB ĐHQG tp HCM, 2019 Ngày 8 tháng 3 năm 2020TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 8 tháng 3 năm 2020 1 / 12Vấn đề 1. Cấu trúc không gian vectơ.Vấn đề 2. Các khái niệm cơ bản của không gian véctơ. 1 Phụ thuộc tuyến tính 2 Độc lập tuyến tính 3 Tổ hợp tuyến tính 4 Tập sinh 5 Cơ sở 6 Số chiều 7 Hạng của họ véctơ TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 8 tháng 3 năm 2020 2 / 12Không gian véctơKhông gian véctơ là một cấu trúc của đại số gồm: một tập hợp V khác rỗng phép toán cộng hai véctơ và phép toán nhân véctơ với một số thỏa bộ 10 tiên đề:1/ ∀x, y ∈ V, x + y ∈ V; 2/ ∀x ∈ V, α ∈ K, α · x ∈ V;3/ ∀x, y ∈ V, y + x = x + y;4/ ∀x, y, z ∈ V, x + (y + z) = (x + y) + z;5/ Trong V tồn tại véctơ được gọi là véctơ không, ký hiệu là 0 thoả∀x ∈ V, x + 0 = x;6/ ∀x ∈ V, ∃x1 ∈ V thoả x + x1 = 0. Véctơ x1 được gọi là véctơ đối củavéctơ x và được ký hiệu là −x.7/ ∀x, y ∈ V, ∀α ∈ K, α(x + y) = αx + αy;8/ ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ K, (α + β)x = αx + βx;9/ ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ K, α(βx) = (αβ)x;10/ ∀x ∈ V, 1 · x = x. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 8 tháng 3 năm 2020 3 / 12Không gian véctơVí dụGọi R2 là tập hợp tất cả các véctơ trong mặt phẳng có điểm đầu là gốc −→ −O, tức là R2 = {OM|M ∈ mặt phẳng 0xy}. Phép toán cộng hai véctơ vànhân véctơ với một số thực là hai phép toán ta đã biết ở phổ thông.Kiểm tra 10 tiên đề trong định nghĩa 3.1.1 đều thoả. Vậy R2 là khônggian véctơ trên tập số thực hay không gian véctơ thực.Lưu ý: R2 không chứa tất cả các véctơ trong mặt phẳng. R2 chỉ chứacác véctơ có điểm đầu là gốc O. Lớp những véctơ bằng nhau (cùnghướng và cùng độ lớn) được chọn một véctơ có điểm xuất phát là gốctoạ độ.Ví dụ −→ −Tương tự ta có không gian véctơ thực R3 = {OM|M ∈ không gian Oxyz}là tập hợp tất cả các véctơ trong không gian có điểm đầu là gốc O vớihai phép toán đã biết. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 8 tháng 3 năm 2020 4 / 12Không gian véctơVí dụGọi R2 là tập hợp tất cả các véctơ trong mặt phẳng có điểm đầu là gốc −→ −O, tức là R2 = {OM|M ∈ mặt phẳng 0xy}. Phép toán cộng hai véctơ vànhân véctơ với một số thực là hai phép toán ta đã biết ở phổ thông.Kiểm tra 10 tiên đề trong định nghĩa 3.1.1 đều thoả. Vậy R2 là khônggian véctơ trên tập số thực hay không gian véctơ thực.Lưu ý: R2 không chứa tất cả các véctơ trong mặt phẳng. R2 chỉ chứacác véctơ có điểm đầu là gốc O. Lớp những véctơ bằng nhau (cùnghướng và cùng độ lớn) được chọn một véctơ có điểm xuất phát là gốctoạ độ.Ví dụ −→ −Tương tự ta có không gian véctơ thực R3 = {OM|M ∈ không gian Oxyz}là tập hợp tất cả các véctơ trong không gian có điểm đầu là gốc O vớihai phép toán đã biết. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 8 tháng 3 năm 2020 4 / 12Không gian véctơVí dụ −→ −Cho tập hợp S1 = {OM|M ∈ đường thẳng ∆ qua gốc O và các điểmO; M thuộc mặt phẳng với hệ trục Oxy. Phép toán cộng hai véctơ vànhân véctơ với một số đã biết ở phổ thông. Hỏi S1 có là không gianvéctơ hay không?Ví dụ −→ −Cho tập hợp S2 = {OM|M ∈ một trong hai đường thẳng phân biệt quagốc O và các điểm O; M thuộc mặt phẳng với hệ trục Oxy. Phép toáncộng hai véctơ và nhân véctơ với một số đã biết ở phổ thông. Hỏi S2 cólà không gian véctơ hay không? TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 8 tháng 3 năm 2020 5 / 12Không gian véctơVí dụ −→ −Cho tập hợp S1 = {OM|M ∈ đường thẳng ∆ qua gốc O và các điểmO; M thuộc mặt phẳng với hệ trục Oxy. Phép toán cộng hai véctơ vànhân véctơ với một số đã biết ở phổ thông. Hỏi S1 có là không gianvéctơ hay không?Ví dụ −→ −Cho tập hợp S2 = {OM|M ∈ một trong hai đường thẳng phân biệt quagốc O và các điểm O; M thuộc mặt phẳng với hệ trục Oxy. Phép toáncộng hai véctơ và nhân véctơ với một số đã biết ở phổ thông. Hỏi S2 cólà không gian véctơ hay không? TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 8 tháng 3 năm 2020 5 / 12Phụ thuộc tuyến tính - độc lập tt - tổ hợp ttCho V là K− kgv và M = {v1 , v2 , ..., vm } là một tập hợp con của V.1/ Tập hợp con M được gọi là tập ...