Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Định thức

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Định thức cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Tính định thức; Định thức và các phép biến đổi sơ cấp trên dòng; Định thức và ma trận khả nghịch; Phương pháp Cramer. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Định thức Chương3: Định Thức 1 /46 Nội dung 1. Tính định thức . 2. Định thức và các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Định thức và ma trận khả nghịch. 4. Phương pháp Cramer . 2 /46 1. Tính định thức . Cho A = (aij )nlà ×n ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số ký hiệu bởi det ( A) = aij n×n = A Ký hiệu M ij là định thức thu được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A; ⎛ 1 2 3⎞ ⎛ 1 2 3⎞ 4 6 ⎜7 8 9⎟ ⎝ ⎠ ⎜7 8 9⎟ ⎝ ⎠ ( ) A = ⎜ 4 5 6 ⎟ M12 = ⎜ 4 5 6 ⎟ = 7 9 Định nghĩa bù đại số của phần tử aij Bù đại số của phần tử aij là đại lượng Aij = (−1)i + j M ij 1. Tính định thức . Định nghĩa định thức bằng qui nạp a) k =1: A = [a11 ] → A = a11 b) k =2: A = ⎡ a11 a12 ⎤ ⎢a ⎥ → A = a11a22 − a12 a21 = a11 A11 + a12 A12 ⎣ 21 a22 ⎦ ⎡ a11 a12 a13 ⎤ c) k =3: A = ⎢ a21 a22 a23 ⎥ → A = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ⎢ ⎥ ⎢⎣ a31 a32 a33 ⎥⎦ ............... d) k =n:A = ⎡ a11 a12 L a1n ⎤ ⎢ * ⎥ → A = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n ⎣ ⎦ Ví dụ ⎡1 2 − 3⎤ Tính det (A), với A = ⎢2 3 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 2 4 ⎥⎦ Giải A = 1⋅ A11 + 2 ⋅ A12 + (−3) ⋅ A13 1 2 −3 1+1 1+1 3 0 A11 = (−1) 2 3 0 = ( −1) = 12 2 4 3 2 4 1+1 3 0 1+ 2 2 0 1+3 2 3 A = 1⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) + (−3) ⋅ (−1) 2 4 3 4 3 2 A = 12 − 16 + 15 = 11 1. Tính định thức . Chú ý. Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ hàng hoặc cột tùy ý nào đó a1 j * a2 j * A= = a1 j A1 j + a2 j A2 j + L + anj Anj L anj 1. Tính định thức . Ví dụ ⎡ 3 − 1 3⎤ Tính định thức det (A), với A = ⎢5 2 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣4 0 0⎥⎦ Giải. Khai triển theo hàng thứ 3 3 −1 3 3 −1 3 3+1 3+1 −1 3 A=5 2 2 = 4 ⋅ (−1) 5 2 2 = 4 ⋅ (−1) = −32 2 2 4 0 0 4 0 0 1. Tính định thức . Ví dụ ⎛ 2 −3 3 2⎞ ⎜ 3 0 1 4⎟ Tính định thức det (A), với A=⎜ ⎟ ⎜ −2 0 3 2⎟ ⎜ 4 0 −1 5 ⎟⎠ ⎝ 1. Tính định thức . Giải Khai triển theo cột thứ hai 2 −3 3 2 3 0 1 4 A= = (−3) ⋅ A12 + 0 ⋅ A22 + 0 ⋅ A32 + 0 ⋅ A42 = −3 A12 −2 0 3 2 4 0 −1 5 3 1 4 A = 3 −2 3 2 = L = 171 4 −1 5 1. Tính định thức . Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo. Ví dụ 2 −1 3 0 4 0 −3 6 7 1 A = 0 0 5 2 8 = 2 ⋅ (−3) ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅1 = −120 0 0 0 4 9 0 0 0 0 1 2. Định thức - phép biến đổi sơ cấp Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức h →α h 1.Nếu A ⎯⎯⎯⎯ i i →B thì | B |= α | A | hi →hi + β h j 2.Nếu A ⎯⎯⎯⎯⎯ →B thì | B |=| A | hi ↔ h j 3. Nếu A ⎯⎯⎯→ B thì | B |= − | A | 2. Định thức - phép biến đổi sơ cấp Ví dụ Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức ⎛ 1 1 2 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2 3 5 0 ⎟ A=⎜ 3 2 6 − 2⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝− 2 1 3 1 ⎠ 2. Định thức - phép biến đổi sơ cấp Giải 1 1 2 − 1 h2 → h2 − 2h1 1 1 2 −1 2 3 5 0 h3 → h3 − 3h1 0 1 1 2 | A |= 3 2 6 −2 0 −1 0 1 h4 → h4 + 2h1 −2 1 3 1 0 3 7 −1 1 1 2 Khai triển theo cột đầu tiên | A| 1 ⋅ (−1)1+1 − 1 0 1 1 1 2 3 7 −1 1+ 2 −1 1 | A |= − 1 0 1 = 1 ⋅ (−1) = −19 − 4 − 15 − 4 0 − 15 2. Định thức - phép biến đổi sơ cấp Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp Bước 1. Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý; Bước 2. Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột) ở bước 1. Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác. Bước 3. Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn. 2. Định thức - phép biến đổi sơ cấp Ví dụ Sử dụng biến đổi sơ cấp, tính định thức ⎛ 3 2 −1 ...