Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh (2020)

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Ánh xạ tuyến tính, cung cấp cho người học những kiến thức như Ánh xạ tuyến tính và các ví dụ; biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4 - TS. Đặng Văn Vinh (2020) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chương 4: Ánh xạ tuyến tính TS. Đặng Văn Vinh Bộ môn Toán Ứng Dụng Khoa Khoa học Ứng dụng Đại học Bách Khoa Tp.HCM Tài liệu: Đặng Văn Vinh. Đại số tuyến tính. NXB ĐHQG tp HCM, 2019 Ngày 10 tháng 3 năm 2020TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 1 / 10Vấn đề 1. Ánh xạ tuyến tính và các ví dụ.Vấn đề 2. Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 2 / 10Ánh xạ tuyến tínhĐịnh nghĩaCho V, W là hai K − kgv. Ánh xạ f : V −→ W được gọi là ánh xạ tuyến tính,nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:1/ ∀X, Y ∈ V, f (X + Y) = f (X) + f (Y),2/ ∀α ∈ K, ∀X ∈ V, f (αX) = αf (X).Ví dụXét ánh xạ f là phép đối xứng qua đường thẳng (∆) : y = 2x trongkhông gian R2 . Kiểm tra trực tiếp hai tính chất của ánh xạ tuyến tínhđều thỏa. Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 3 / 10Ánh xạ tuyến tínhĐịnh nghĩaCho V, W là hai K − kgv. Ánh xạ f : V −→ W được gọi là ánh xạ tuyến tính,nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:1/ ∀X, Y ∈ V, f (X + Y) = f (X) + f (Y),2/ ∀α ∈ K, ∀X ∈ V, f (αX) = αf (X).Ví dụXét ánh xạ f là phép đối xứng qua đường thẳng (∆) : y = 2x trongkhông gian R2 . Kiểm tra trực tiếp hai tính chất của ánh xạ tuyến tínhđều thỏa. Vậy f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 3 / 10Ví dụCho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ mộtgóc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ −Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα af (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α bVậy f là một ánh xạ tuyến tính.Ví dụCho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó vớip(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b.f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10Ví dụCho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ mộtgóc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ −Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα af (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α bVậy f là một ánh xạ tuyến tính.Ví dụCho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó vớip(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b.f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10Ví dụCho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ mộtgóc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ −Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα af (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α bVậy f là một ánh xạ tuyến tính.Ví dụCho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó vớip(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b.f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10Ví dụCho ánh xạ f là phép quay quanh gốc O ngược chiều kim đồng hồ mộtgóc α trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy. −→ −Theo chương 1, ta có công thức tính ảnh của một véctơ OM = (a; b) là −→ − cos α −sinα af (OM) = · ⇔ f (X) = R · X sin α cos α bVậy f là một ánh xạ tuyến tính.Ví dụCho ánh xạ f là phép lấy đạo hàm trong không gian P2 [x]. Khi đó vớip(x) = ax2 + bx + c ta có ảnh qua phép biến đổi là p (x) = 2ax + b.f là một ánh xạ tuyến tính. TS. Đặng Văn Vinh ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Ngày 10 tháng 3 năm 2020 4 / 10Biểu diễn ma trận của ánh xạ tuyến tínhVí dụCho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R2 , ∀x = (x1 ; x2 ; x3 ),f (x) = f (x1 ; x2 ; x3 ) = (3x1 − 2x2 + x3 ; 2x1 + 4x2 − x3 ). Tìm f (2; 1; 3).Ảnh của véctơ (2; 1; 3) là f (2; 1; 3) = (3.2 − 2.1 + 3; 2.2 + 4.1 − 3) = (7; 5).Mặt khác ta cóf (x) = f (x1 ; x2 ; x3 )   ...