Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Định nghĩa ánh xạ tuyến tính; không gian hạt nhân và không gian ảnh; Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính Chương 5 Ánh xạ tuyến tính 1 /46 Nội dung 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính. 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính. 2 /46 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ánh xạ Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) f : X →Y ∀x ∈ X , ∃! y ∈ Y : y = f ( x) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f ( x) Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh. 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ. Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X. Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,… 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. Ánh xạ tuyến tính f : V → W giữa hai không gian véctơ V, W là một ánh xạ thỏa 1. (∀v1, v2 ∈V ) f (v1 + v2 ) = f (v1) + f (v2 ) 2. (∀α ∈ K , ∀v ∈V ) f (α v) = α f (v) 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Chứng tỏ ánh xạ f : R3 → R2 cho bởi ∀x = ( x1 , x2 , x3 ); f ( x) = ( x1 + 2 x2 − 3 x3 , 2 x1 + x3 ) là ánh xạ tuyến tính. ∀x = ( x1, x2 , x3 ); y = ( y1, y2 , y3 ) ∈ R3 f ( x + y ) = f ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 ) f ( x + y ) = ( x1 + y1 + 2 x2 + 2 y2 − 3 x3 − 3 y3 , 2 x1 + 2 y1 + x3 + y3 ) f ( x + y ) = ( x1 + 2 x2 − 3 x3 , 2 x1 + x3 ) + ( y1 + 2 y2 − 3 y3 , 2 y1 + y3 ) f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính. 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho f :V → W là ánh xạ tuyến tính. Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V. Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en). ∀x ∈ V ⇔ x = x1e1 + x2e2 +!+ xn en f (x) = f (x1e1 + x2e2 +!+ xn en ) f (x) = f (x1e1 ) + f (x2e2 ) +!+ f (xn en ) f (x) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) +!+ xn f (en ) Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V. 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R 2 , biết f (1,1,0) = (2, −1), f (1,1,1) = (1,2), f (1,0,1) = (−1,1); 1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 1. Giả sử (3,1,5) = α (1,1,0) + β (1,1,1) + γ (1,0,1) ⎧α + β + γ = 3 ⎪ ⇔⎨ α +β = 1 ⇔ α = −2, β = 3, γ = 2 ⎪ β +γ = 5 ⎩ ⇒ f (3,1,5) = f (α (1,1,0) + β (1,1,1) + γ (1,0,1)) ⇔ f (3,1,5) = α f (1,1,0) + β f (1,1,1) + γ f (1,0,1) f (3,1,5) = −2(2, −1) + 3(1, 2) + 2(−1,1) = (−3,10) 1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? 1. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (2 x1 + 3x2 , x1 ) 2. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = ( x1 + 2 x2 ,0) 3. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (2 x1 − x2 , x1 + 1) 4. f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = (1, x1 − x2 ) 2 5. f : R2 → R2 ; f ( x , 1 2x ) = ( x1 + x2 1) , x 6 f : R2 → R2 ; f ( x1, x2 ) = ( x2 , x1 ) 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f :V → W Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0. Kerf = {x ∈V | f ( x) = 0} V W Kerf 0 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính f :V → W Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y của không gian véctơ W sao cho tồn tại x ∈V để y = f(x). Im f = {y ∈W | ∃x ∈V : y = f ( x)} V W Imf 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : V → W 1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V. 2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W. 3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V) 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh Mệnh đề Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tập sinh của V. Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính. 1. Chọn một cơ sở của V là E = { e1 , e2 ,..., en} 2. Tìm f (e1 ), f (e2 ),..., f (en ) 3. Im f =< f (e1 ), f (e2 ),..., f (en ) > 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , biết ∀x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ R3 : f ( x) = f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , 2 x1 + 3x2 − x3 ,3x1 + 5 x2 − x3 ) 1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf. ∀x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ Kerf ⇔ f ( x) = 0 ⇔ ( x1 + x2 − x3 , 2 x1 + 3x2 − x3 ,3x1 + 5 x2 − x3 ) = (0,0,0) ⎧ x1 + x2 − x3 = 0 ⇔ x1 = 2α ; x2 = −α ; x3 = α ⎪ ⇔ ⎨2 x1 + 3 x2 − x3 = 0 ⇒ x = (2α , −α , α ) ⎪3 x + 5 x − x = 0 ⇔ x = α (2, −1,1) ⎩ 1 2 3 Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf dim(Kerf) = 1. 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , biết ∀x = ( x1, x2 , x3 ) ∈ R3 : f ( x) = f ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + x2 − x3 , 2 x1 + 3x2 − x3 ,3x1 + 5 x2 − x3 ) 2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf. Chọn cơ sở chính tắc của R3 E = { (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R3. Im f =< f (1,0,0), f (0,1,0), f (0,0,1) > Im f =< (1, 2,3),(1,3,5),( −1, −1, −1) > Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận: dim(Im f ) = 2 Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)} 2. Kgian hạt nhân và kgian ảnh Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , biết f (1,1 ...