Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 8 - TS. Đặng Văn Vinh

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 8 cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về dạng toàn phương. Nội dung chính trong chương này gồm có: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc, phân loại dạng toàn phương, sử dụng vẽ đường cong bậc hai, mặt cong bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 8 - TS. Đặng Văn VinhTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------Đại số tuyến tínhChương 8: Dạng Toàn Phương•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (1/2010)dangvvinh@hcmut.edu.vn7.6 Dạng Toàn phương---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định nghĩaDạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : R n  Rx  (x1, x 2 ,..., x n )T  R n : f (x )  x T  A  Xtrong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận củadạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)Ví dụ. Cho x1 x  x2  2 3 A34Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2Tx Ax   x1 2 3  x1 22x2  2x6xx4x11 22 x 34 2 7.6 Dạng Toàn phương---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạngf (x )  f (x1, x 2 , x 3 )  A x12  B x 22  C x32  2Dx1x 2  2Ex1x 3  2Fx 2x 3Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứngAM  DEKhi đó f(x) có thể viết lạiA (x1, x 2 , x 3)  DEDD EB FF C f (x )  f (x1, x 2 , x 3 ) E  x1 B F  x 2   x T  M  x F C x 3 7.6 Dạng Toàn phương---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ví dụ. x1 x   x 2   R3 : x  3f ( x)  3x12  2 x22  4 x32  4 x1x2  6 x1x3  2 x2 x3Viết ma trận của dạng toàn phương.Giải 3 2 3 A 2 2 1  3 1 4  f ( x)  xT Ax   x1x2 3 2 3   x1 x3   2 2 1   x2   3 1 4  x  3 7.6 Dạng Toàn phương---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Cho dạng toàn phương f ( x)  xT Ax, vớix  (x1, x 2 , x 3 )TVì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trậntrực giao P và ma trận chéo D:A  PDPTKhi đó:ĐặtTa cóf (x )  x T PDPT x  (PT x )T D (PT x )y  PT x  x  Pyf ( y )  y T Dy 1 0 0  y 1  f ( y )  ( y 1, y 2 , y 3 )  0 2 0  y 2   0 0   y 3  3  f ( y )  f ( y 1, y 2 , y 3 )  1y 12  2 y 22  3 y 32