Bài giảng Đại số tuyến tính: Định thức - Ts. Lê Xuân Trường

Bài giảng này giúp người học hiểu thêm về các phép toán định thức như: Ma trận con bù, khái niệm định thức, quy tắc Sarrus (tính định thức cấp 3), phép biến đổi sơ cấp,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số tuyến tính: Định thức - Ts. Lê Xuân Trường ĐỊNH THỨC Ts. Lê Xuân Trường Khoa Toán Thống KêTs. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 1/8 Ma trận con bù Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. bỏ dòng i A −−−−−→ Mij bỏ cột j ↓ ma trận con bù của aij Ví dụ: Xét ma trận   2 −1 3 A=  1 4 −5  −3 2 −2 1 −5 ma trận con bù của a12 : M12 = −3 −2 −1 3 ma trận con bù của a31 : M31 = 4 −5Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 2/8 Khái niệm định thức Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp n. Định thức của A là một số thực, ký hiệu bởi det(A), và được xác định bởi qui nạp theo n như sau n = 2: a11 a12 A= ⇒ det(A) = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 1 2 Ví dụ: A = ⇒ det(A) = −2 3 4 n ≥ 3: det(A) = (−1)k +1 ak1 det(Mk1 ) + · · · + (−1)k +n akn det(Mkn ) (với k bất kỳ trong tập {1, 2, ..., n })  −1 2 2 Ví dụ: Tính định thức của ma trận A =  3 1 4 −2 3 1Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 3/8 Qui tắc Sarrus (tính định thức cấp 3) Qui tắc Sarrus Ví dụ:Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 4/8 Lưu ý Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo một cột bất kỳ Ví dụ: Tính định thức của ma trận sau   3 1 0 2  −1 2 0 3 A=  1 −2 0 1  2 −1 −2 0 Khai triển theo cột thứ 3 3 1 2 4+3 det(A) = (−1) (−2) −1 2 3 = 28 1 −2 1Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 5/8 Phép biến đổi sơ cấp Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Loại 1: Đổi chỗ hai dòng (di ←→ dj ) λ 6 =0 Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0 (di −−→ λdi ) Loại 3: Thay một dòng bởi dòng đó cộng với bội số của một dòng khác λ ∈R di −−→ di + λdj Các phép biến đổi sơ cấp trên cột (tương tự)Ts. Lê Xuân Trường (Khoa Toán Thống Kê) ĐỊNH THỨC 6/8 Định thức và các phép biến đổi sơ cấp Nếu đổi chỗ hai dòng của định thức thì định thức đổi dấu Nhân một dòng của ma trận A với số λ 6= 0 thì định thức của ma trận thu được gấp λ lần định thức của A Phép biến đổi loại 3 không làm thay đổi định thức Ví dụ: Tính định thức của ma trận   1 2 3 4 2 3 4 1 ...