Bài giảng Đồ họa máy tính: Đường và mặt cong - Ngô Quốc Việt

Bài giảng Đồ họa máy tính: Đường và mặt cong cung cấp cho người học những kiến thức như: Đường cong Bezier; Đường bậc 3, B-splines; Mặt cong;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đồ họa máy tính: Đường và mặt cong - Ngô Quốc Việt ĐƯỜNG VÀ MẶT CONG NGÔ QUỐC VIỆT 2009  Đường cong Bezier  Thuật giải Casteljau.  Đa thức Bernstein.  Đường bậc 3, B-splines.  Mặt cong.  Hỏi đ|p  B{i tập 2  Mục tiêu: x}y dựng đường cong thông qua c|c điểm điều khiển.  Do Pierre Bezier x}y dựng (trong thời gian l{m việc ở Renault).  Tương tự đường Hermit nhưng trực quan hơn 3 p1 = x1,y1 p2 = x2,y2 p(t) = Si=0..3 Bi(t) pi Bi(t) = (3i) ti (1-t)3-i p0 = x0,y0 p3 = x3,y3 p(t) = (1-t)3p0 + 3(1-t)2tp1 + 3(1-t)t2p2 + t3p3 x(t) = (1-t)3x0 + 3(1-t)2tx1 + 3(1-t)t2x2 + t3x3 y(t) = (1-t)3y0 + 3(1-t)2ty1 + 3(1-t)t2y2 + t3y3 4 • Đường Bezier có bậc bất kỳ • Bậc đường Bezier=số điểm điều khiển – 1 • Ví dụ: – Bậc 2 (quadratic): 3 CPs – Bậc 3 (cubic): 4 CPs – Bậc 4 (quadratic): 5 CPs • C}u hỏi: – L{m c|c n{o thêm điểm điều khiển v{o đường Bezier x|c định? – L{m c|ch n{o chia đường cong Bezier th{nh hai đoạn cong Bezier? 5 • X}y dựng điểm trên đường cong. p1 p01 = (1-t) p0 + t p1 p12 p12 = (1-t) p1 + t p2 p23 = (1-t) p2 + t p3 p012 p2 1-t p012 = (1-t) p01 + t p12 p123 p0123 p123 = (1-t) p12 + t p23 p01 p0123 = (1-t) p012 + t p123 • Chia đường cong tại p0123 t p23 – p0 p01 p012 p0123 p0 – p0123 p123 p23 p3 p3 • Lặp lại với c|c gi| trị t để có đường Bezier. 6 • Dùng để tăng điều khiển • Bắt đầu với S pi (ni) ti (1-t)n-i = S qi (ni+ 1) ti (1-t)n+1-i p1 • X|c định qi 1/2 q2 1/2 (t+(1-t)) S pi (ni) ti (1-t)n-i 1/4 p2 = S pi (ni) (ti (1-t)n+1-i + ti+1 (1-t)n-i) q1 1/4 • So s|nh c|c hệ số q3 3/4 qi(ni+ 1) = pi(ni) + pi-1(ni-1) qi = (i/(n+1))pi-1 + (n+1-i/(n+1))pi 3/4 p0=q0 p3=q4 7 • Dạng tổng qu|t với • Công thức trên x|c định lớp c|c đường cong Bezier. 8  Hệ số của c|c điểm điều khiển l{ tập c|c h{m được gọi l{ Bernstein polynomials.  Ở bậc 3 (4 điểm điều khiển), ta có: 9 B03(t) B33(t) • Bậc bất kỳ 1 Bin(t) = (ni) ti (1-t)n-i B13(t) B23(t) (ni) = n!/(i!(n – i)!) = (ni- 1) + (ni--11) • Ph}n hoạch đơn vị – Tổng bằng 1 với mọi t trong [0,1] Si=0..n Bin(t) = 1 0 0 1/3 2/3 1 • Đa thức bậc cao được x}y dựng từ c|c b đa thức bậc thấp hơn d Bin(t) = (ni) ti (1-t)n-i = (ni- 1) ti (1-t)n-i + (ni--11) ti (1-t)n-i a = (1-t)Bin-1(t) + tBin--11(t) c p(t)=aB03(t)+bB13(t)+cB23(t)+dB33(t) 10 Bin(t) = (1-t)Bin-1(t) + tBin--11(t) = B02(t) = (1-t) B01(t) = + B12(t) = (1-t) B11(t) + t B01(t) = B22(t) = t B11(t) 11 f(0,0,1) f(0,t,1) f(0,t,t) f(0,1,1) f(t,t,t) f(t,t,1) f(0,0,t) p(t) = f(t,t,t) f(t,1,1) f(0,0,0) f(1,1,1) p(t) = f(t,t,t) = (1-t) f(t,t,0) + t f(t,t,1) = (1-t)[(1-t) f(t,0,0) + t f(t,0,1)] + t [(1-t) f(t,0,1) + t f(t,1,1)] = (1-t)2 f(t,0,0) + 2 (1-t) t f(t,0,1) + t2 f(t,1,1) = (1-t)3 f(0,0,0) + 3 (1-t)2 t f(0,0,1) + 3 (1-t) t2 f(0,1,1) + t3 f(1,1,1) 12 n p(t )   Bin (t ) pi i 0 ...