Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàm

Những bài giảng về nguyên hàm được thiết kế bằng powerpoint với mục đích giúp học sinh hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên khoảng K. Phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số và biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm. Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm. Thấy được mối liên hệ giữa nguyên hàm và đạo hàm của hàm số. Hy vọng đây sẽ là những tư liệu tham khảo cho các thầy cô giáo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 12 chương 3 bài 1: Nguyên hàmSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT LÊ THỊ PHA§1.§2.§3 §1.I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: II/ PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM:1.Nguyên hàm:2.Tính chất của nguyên hàm : 1.Phương pháp đổi biến số:3.Sự tồn tại nguyên hàm: 2. Phương pháp tính nguyên4.Bảng nguyên hàm của hàm từng phần:một số hàm số thường gặp:I / NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT: 1.Nguyên hàm: Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu : 1    a) f  x   3x 2 x   ;   b) f  x   2 x   ;  cos x  2 2 Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R . Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên K .Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm sốf(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K.Ví dụ 1:a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x  (- ; +∞)b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số 1   f  x   2 x    ;  Vì F  x    tan x   2 1    x   ;  cos x  2 2 cos x  2 2Nêu thêm một số ví dụ khác:c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàmsố : f(x) = 6 x trên Rd) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số : 1 f  x  , x   0;   xĐịnh lý 1:Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên Kthì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũnglà một nguyên hàm của f(x) trên K . Hãy tự chứng minh định lý này.Định lý 2:Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên Kthì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạngF(x) + C , với C là một hằng số .Chứng minh:Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức làG’(x) = f(x) mọi x  K . Khi đó :(G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x  K.Vậy: G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K . Ta có : G(x) – F(x) = CHay: G(x) = F(x) + C với mọi x  K . F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K . Kí hiệu :  f  x  dx = F  x  + C Chú ý : Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) củaf(x ), vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx Ví dụ 2 :  f  x  dx = F  x  + C    2a) Với x  (-  ; +  ) , 2xdx x C 1b) Với x  ( 0 ; +  ) ,  dx  ln x  C x c) Với x  ( -  ; +  ) , cos x.dx  sin x  C2.Tính chất của nguyên hàm : Tính chất 1:  f  x  dx = f  x  + C Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm . Ví dụ 3:   cos x  .dx     sin x .dx  cos x  C Tính chất 2:  kf  x  dx = k  f  x  dx  kf  x  dx = k  f  x  dxChứng minh: Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x) 1 1 Vì k ≠ 0 nên f  x  F ( x)   F  x  k k  Theo t/c 1 ta có : 1  1 k  f  x  dx  k   F ( x)  dx  k  F  x   C1   F  x   kC1  C1  R  k  k   F  x  C   k. f  x  dxTính chất 3:  f  x  g  x dx =  f  x  dx   g  x  dx Tự chứng minh t/c này. Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: 2 f  x   3sin x  , x   0;   x Giải: Với x  ( 0 ; + ∞) , ta có :  2 1  3sin x  x  dx  3 sin xdx  2 x dx  3cos x  2ln x  C3.Sự tồn tại của nguyên hàm: Định lý 3: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Công nhận định lý này .Ví dụ 5: 2a) Hàm số f  x  x 3 Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  ) 2 5 3  x .dx  5 .x  C 3 3 1b) Hàm số g  x   sin 2 x Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ 1  2 sin x .dx   cot x  C4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp : ...