Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 1)

Phần 1 bài giảng "Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi" cung cấp cho người học các kiến thức về "Chuỗi số" bao gồm: Tổng quan về chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi có dấu bất kỳ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4: Chuỗi (Phần 1)CHƯƠNG IV: CHUỖI§1. CHUỖI SỐ1. CHUỖI SỐ DƯƠNG2. CHUỖI ĐAN DẤU3. CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ§2. CHUỖI LŨY THỪA1. CHUỖI LŨY THỪA2. CHUỖI TAYLOR - MACLAURINT §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi sốĐịnh nghĩa: Cho dãy số {un}. Ta gọi tổng tất cả các ¥số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) å un là chuỗi số n= 1Ta gọi: 1. un là số hạng tổng quát của chuỗi 2. Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên : Sn=u1+u2+…+un 3. Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có) S = lim Sn < ¥ n® ¥ Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ. Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ ¥ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng å un = lim Sn = S n= 1 n® ¥ §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi sốVí dụ: Tìm số hạng tổng quát của các chuỗi: 1 3 7 15 n + + + + ... Þ un = 2 - 1 2 4 8 16 n 22 22 23 24 2n + + + + ... Þ un = 1 1.2 1.2.3 1.2.3.4 n!Ví dụ: Tính số hạng un của các chuỗi ¥ n+ 2 å Tính u5? Þ u5 = 5 + 2 = 7 n = 1 4n - 1 4.5 - 1 19 ¥ (2n - 1)!!å Tính u6n= 1 ( n + 1)! (2.6 - 1)!! 11!! 1.3.5.7.9.11 99 Þ u6 = = = = (6 + 1)! 7! 1.2.3.4.5.6.7 48 §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ¥ n Ví dụ: Tính tổng của chuỗi cấp số nhân å q n= 0Ta bắt đầu từ việc tính tổng riêng thứ n của chuỗi ìï n, q = 1 2 n ïï Sn = 1+ q + q + ... + q = í 1- q n ïï ,q ¹ 1 ïî 1- qRõ ràng khi q=1, Sn=n thì chuỗi là phân kỳ n 1Khi |q|1: Dãy {Sn} không có giới hạn → chuỗi phân kỳ ¥Vậy chuỗi cấp số nhân å q n hội tụ khi và chỉ khi |q| §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ¥ æ1 1 ö÷ Ví dụ: Tính tổng của chuỗi å çç n - n ÷ n = 0 è3 5 ø÷ Áp dụng kết quả ví dụ trên, ta có ¥ 1 ¥ 1n 1 3 å n= å ( ) = = n= 0 3 n= 0 3 1- 1 2 3 ¥ 1 ¥ 1n - 1 5å - n= å -( ) = =-n= 0 5 n= 0 5 1- 1 4 5 ¥ æ1 1 ö÷ 3 5 1Vậy: å çç n - n ÷ ÷= - = n= 0 è3 5 ø 2 4 4 §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số ¥ 1Ví dụ: Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của å 2 n = 1 4n - 1Tổng riêng: Sn = u1 + u2 + ... + un 1 1 1 1Ta có: un = 2 = ( - ) 4n - 1 2 2n - 1 2n + 1 æ1 1ö æ1 1ö æ1 1ö æ 1 1 ö2Sn = çç - ÷ ÷+ çç - ÷÷+ çç - ÷ ÷ + ... + çç - ÷ è1 3 ø÷ è3 5÷ ø è5 7÷ ø è2n - 1 2n + 1ø÷ ÷ 12Sn = 1- 2n + 1Tổng của chuỗi: ¥ 1 1 S= å 2 = lim Sn = n= 1 4n - 1 n® ¥ 2 §1. Chuỗi số - Tổng quan về chuỗi số 1¥ Ví dụ: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi å ln(1+ ) n= 1 nTổng riêng: n 1 n Sn = å ln(1+ ) = å (ln(1+ k ) - ln k ) k= 1 k k= 1 Sn = (ln 2 - ln1) + (ln3 - ln 2) + ... + (ln(n + 1) - ln n ) Sn = ln(n + 1)Ta có: S = nlim ®¥ Sn = lim ln(n + 1) = ¥ n® ¥ Vậy chuỗi đã cho phân kỳ§1. Chuỗi số - Tính chất & điều kiện cần của sự hội tụ ¥Điều kiện cần của sự hội tụ : Chuỗi å un hội tụ thì un→0 n= 1Ta thường dùng điều kiện này để chứng minh chuỗisố phân kỳ bằng cách chứng minh é1. lim un ¹ 0 ê n® ¥ ê êë2.$ nlim ®¥ unVí dụ: Các chuỗi sau phân kỳ theo đkccsht ¥ n nå , vì lim un = lim = ...