Bài giảng Giải tích II: Chương 6 - Lý thuyết trường

Bài giảng "Giải tích II: Chương 6 - Lý thuyết trường" trình bày các nội dung chính sau đây: Trường vô hướng; Đạo hàm theo hướng; Trường vectơ; Tính chất của dive, công thức OS dưới dạng vectơ; Công thức Stokes dưới dạng vectơ;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích II: Chương 6 - Lý thuyết trường Chương 6 LÝ THUYẾT TRƯỜNG BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 1/22 1 / 22Nội dung1 Nội dung, mục tiêu Nội dung Chương 6 6.1 Trường vô hướng 6.2 Trường vectơ Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 2/22 2 / 22Nội dung Chương 6Nội dung Chương 66.1 Trường vô hướng6.2 Trường vectơ Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 3/22 3 / 22Trường vô hướngTrường vô hướngTa nói trên miền Ω ⊂ R3 xác định một trường vô hướng nếu tại mỗi điểm M (x, y, z) ∈ Ω cho tương ứng mộtgiá trị u = f (x, y, z) ∈ R. Như vậy, trường vô hướng trên Ω là một hàm số xác định trên Ω.VD: Sự phân bố nhiệt trong một vật thể tạo nên một trường vô hướng trong vật thể đó.Mặt đẳng cựCho trường vô hướng u(x, y, z) xác định trên Ω ⊂ R3 và hằng số c ∈ R. Lúc đó, S = {(x, y, z) ∈ Ω : u(x, y, z) = c}được gọi là mặt đẳng cự (mặt mức) của trường vô hướng u.Nhận xét +) Miền Ω bị phủ kín bởi các mặt mức; +) Các mặt mức khác nhau không giao nhau. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 4/22 4 / 22Đạo hàm theo hướngCho hàm số u(x, y, z), các đạo hàm riêng của u mô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ.Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của u theo các hướng khác. Để khắc phục, ta sửdụng đạo hàm theo hướng. Cho vectơ đơn vị ⃗ = (a, b, c) ∈ R3 . vĐịnh nghĩaGiới hạn (nếu có) u(M + t⃗ ) − u(M ) v u(x + ta, y + tb, z + tc) − u(x, y, z) lim = lim t→0 t t→0 t ∂uđược gọi là đạo hàm theo hướng ⃗ tại điểm M (x, y, z) của u và được kí hiệu là v (M ). ∂⃗ v ⃗ ℓ ∂u ∂u +) Nếu ⃗ không phải vectơ đơn vị thì xét ⃗ = ℓ v , khi đó = ; |⃗ ℓ| ∂⃗ ℓ ∂⃗ v +) Đạo hàm theo hướng ⃗ tại điểm M (x, y, z) của trường vô hướng u thể hiện tốc độ biến thiên của trường v vô hướng u tại điểm M (x, y, z) theo hướng ⃗ . v Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI1121-CHƯƠNG 6 SAMI.HUST – 2023 5/22 5 / 22Đạo hàm theo hướngNhận xét ∂u u(x0 + t, y0 , z0 ) − u(x0 , y0 , z0 ) ∂u +) − (M0 ) = t→0 → lim = (M0 ); ∂i t ∂x ∂u u(x0 , y0 + t, z0 ) − u(x0 , y0 , z0 ) ∂u +) − (M0 ) = lim → = (M0 ); ∂j t→0 t ∂y ∂u u(x0 , y0 , z0 + t) − u(x0 , y0 , z0 ) ∂u +) − (M0 ) = t→0 → lim = (M0 ). ∂k t ∂zĐịnh lý 1 (Đạo hàm theo hướng-Đạo hàm riêng)Nếu u khả vi tại M0 thì u có đạo hàm theo mọi hướng tại M0 và ∂u ∂u ∂u ∂u − (M0 ) = ∂x (M0 ) cos α + ∂y (M0 ) cos β + ∂z (M0 ...