Bài giảng học Hệ phương trình tuyến tính

Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên cao đẳng, đại học chuyên môn toán cao cấp - Giáo trình đại số tuyến tính.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng học Hệ phương trình tuyến tính 1Ch¬ng 4 HÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh4.1 Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh1. D¹ng tæng qu¸t cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh HÖ m ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn lµ hÖ cã d¹ng: a11x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a x + a x +...+ a x = b  21 1 22 2 2n n 2  (4_1) ... am1x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bm  Trong ®ã aij (i= 1, m ;j= 1, n ) vµ bi (i= 1, m ) lµ c¸c sè cho tríc trªn trêng K, cßn x1,x2,...,xn lµ nÈn sè cÇn t×m. NÕu b1=b2=...=bm=0 th× hÖ gäi lµ hÖ tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt, ngîc l¹i hÖ ®îc gäi lµ hÖtuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt. NghiÖm cña hÖ lµ mét bé n sè (c1,c2,...,cn) sao cho khi thay thÕ x1=c1, x2=c2,..., xn=cn vµohÖ ta ®îc c¸c ®ång nhÊt thøc. Gi¶i hÖ lµ t×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña nã. NÕu hÖ cã nghiÖm th× ta nãi hÖ t¬ng thÝch,nÕu hÖ kh«ng cã nghiÖm th× lµ hÖ kh«ng t¬ng thÝch hay hÖ v« nghiÖm. NÕu hÖ t¬ngthÝch vµ cã nghiÖm duy nhÊt ta gäi lµ hÖ x¸c ®Þnh, nÕu nghiÖm kh«ng duy nhÊt ta gäi lµhÖ bÊt ®Þnh. Ta gäi ma trËn:  a11 a12 ... a1n    A=  a21 a22 ... a2 n  (4_2) ...     am1 am2 ... amn lµ ma trËn c¸c hÖ sè cña hÖ, vµ ma trËn:  a11 a12 ... a1n b1    A*=   a21 a22 ... a2 n b2  (4_3) ...     am1 am2 ... amn bm lµ ma trËn c¸c hÖ sè më réng cña hÖ.2. D¹ng ma trËn cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh §Æt:  x1   b1       x2   b2  X=   b=   (4_4) ... ...      xn   bm  X gäi lµ vÐc t¬ Èn, b gäi vÐc t¬ cét vÕ ph¶i. Khi ®ã cã hÖ díi d¹ng ma trËn  a11 a12 ... a1n   x1   b1         a21 a22 ... a2 n   x2  =  b2  hay A.X=b (4_5)  ...   ...   ...         am1 am2 ... amn   xn   bm  1 23. D¹ng vÐc t¬ cña hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh NÕu ®Æt:  a11   a12   a1n        a 1  21  a 2  22  a n  2n  a =   a =   ... a =   (4_6) ... ... ...        am1   am2   amn Ta cã hÖ díi d¹ng vÐc t¬ x1a1+x2a2+...+xnan=b (4_7) Khi ®ã mét cÆp n sè c1,c2,...,cn∈K lµ nghiÖm cña hÖ th×: c1a1+c2a2+.....+cnan=bHay b lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ c¸c vÐc t¬ {a1,a2,...,an}. NÕu {a1,a2,...,an} lµ n vÐc t¬ trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh m chiÒu E trªn trêng K, th×(4_7) cã thÓ xem lµ mét ph¬ng tr×nh vÐc t¬ trªn E. §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh (4_7) ta ®a vÒ gi¶ihÖ (4_1) t×m biÓu diÔn tuyÕn tÝnh cña b qua hÖ vÐc t¬ {a 1,a2,...,an}. VÝ dô 4.1: Trong P3(t) cho c¸c ®a thøc a1=8+4t+2t2 a2=4+10t+5t2+4t3 a3=2+5t+6,5t2+4t3 a4=4t+4t2+9t3 b=24+32t+26t2+21t3§Ó t×m biÓu diÔn cña b qua a1,a2,a3,a4, tõ ph¬ng tr×nh vÐc t¬: x1a1+x2a2+x3a3+x4a4=bThay täa ®é cña c¸c vÐc t¬ t¬ng øng trªn c¬ së {1,t,t2,t3} ®îc hÖ: 8 x1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 24 4 x + 10 x + 5x + 4 x = 32  1 2 3 4  2 x1 + 5x 2 + 6,5x 3 + 4 x 4 = 26   4 x 2 + 4 x 3 + 9 x 4 = 21NghiÖm x1,x2,x3,x4 cña hÖ sÏ cho ta biÓu thøc biÓu diÔn cña b.4.2 §iÒu kiÖn tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm1. §iÒu kiÖn tån t¹i nghiÖm Bæ ®Ò 4.1: Cho E lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn trêng K. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ób∈E lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña hÖ {a 1,a2,...,an}⊂E lµ h¹ng cña {a1,a2,...,an} b»ng h¹ng cña hÖ{a1,a2,...,an,b}. Chøng minh: Gi¶ sö hÖ {a1,a2,...,an} cã h¹ng b»ng r, víi r≤ n vµ hÖ con ®éc lËp tuyÕn tÝnhcùc ®¹i lµ {a1,a2,...,ar}. §iÒu kiÖn cÇn: Do b lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña {a1 ...