Bài giảng Không gian tuyến tính

Trong không gian xét tập V các véc tơ với gốc tại O. Hiển nhiên V là tập khác trống chứa véc tơ không, ký hiệu  là véc tơ không. Chúng ta xét hai phép toán sau: (i) Phép cộng hai véc tơ trên V Nếu , là hai véc tơ bất kỳ thuộc V, khi đó véc tơ tổng xác định theo quy tắc hình bình hành là véc tơ có gốc trùng với gốc của và nên cũng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Không gian tuyến tính 1Ch¬ng 3 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh3.1 Kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian tuyÕn tÝnh1. Kh«ng gian vÐc t¬ a. C¸c phÐp to¸n vµ tÝnh chÊt Trong kh«ng gian xÐt tËp V c¸c vÐc t¬ víi gèc t¹i O. HiÓn nhiªn V lµ tËp kh¸c trèng chøavÐc t¬ kh«ng, ký hiÖu θ lµ vÐc t¬ kh«ng. Chóng ta xÐt hai phÐp to¸n sau: (i) PhÐp céng hai vÐc t¬ trªn V → → → → → NÕu a , b lµ hai vÐc t¬ bÊt kú thuéc V, khi ®ã vÐc t¬ tæng c = a + b x¸c ®Þnh theo quy → → →t¾c h×nh b×nh hµnh lµ vÐc t¬ cã gèc trïng víi gèc cña a vµ b nªn c còng cã gèc t¹i O. VËyphÐp céng hai vÐc t¬ trªn V cho ta mét vÐc t¬ thuéc V. (ii) PhÐp nh©n v« híng mét sè víi mét vÐc t¬ → → → NÕu a lµ vÐc t¬ thuéc V, vµ λ lµ mét sè thùc tuú ý, khi ®ã vÐc t¬ tÝch u =λ a lµ mét →vÐc t¬ cã chung ®iÓm gèc víi a nªn thuéc V. VËy phÐp nh©n mét sè víi mét vÐc t¬ trªn Vcho ta mét vÐc t¬ thuéc V . Hai phÐp to¸n trªn c¸c vÐc t¬ cã 8 tÝnh chÊt sau: → → → → 1. TÝnh giao ho¸n: a + b = b + a → → → → → → 2. TÝnh kÕt hîp: ( a + b )+ c = a +( b + c ) → → → → 3. (∀ a ∈ V) a +θ=θ + a = a → → → 4. Víi mäi vÐc t¬ a ∈ V, tån t¹i vÐc t¬ ®èi - a =(-1). a vµ: → → a +(- a ) =θ → → → 5. Víi mäi a ∈V: 1. a = a Víi mäi sè λ,µ ∈R : → → 6. λ(µ. a )=(λ.µ). a → → → 7. (λ+µ). a = λ. a +µ. a → → → → 8. λ.( a + b )= λ. a +λ. b b. To¹ ®é cña vÐc t¬ trong hÖ to¹ ®é §Òc¸c Trong kh«ng gian xÐt hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxyz víi c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ t¬ng øng lµ:→ → →i , j , k vµ gäi lµ mét c¬ së trùc chuÈn cña V. → → Cho a thuéc V. Gäi h×nh chiÕu cña a trªn c¸c trôc to¹ ®é lµ: → → → xa=chox a , ya=choy a , za=choz a (3_1) z za O ya y xa x H×nh 1 2 →Khi ®ã a ®îc biÓu diÔn duy nhÊt díi d¹ng: → → → → a = xa. i +ya. j +za. k (3_2)  xa    → → → →Gäi (xa,ya,za) hay  y a  lµ to¹ ®é cña a trong hÖ c¬ së { i , j , k }, ký hiÖu: z   a → a =(xa,ya,za) (3_3) → Ngîc l¹i víi mçi cÆp 3 sè (xa,ya,za) x¸c ®Þnh duy nhÊt mét vÐc t¬ a mµ: → → → → a =xa. i +ya. j +za. k → Nh vËy mçi vÐc t¬ a ∈V t¬ng øng víi mét phÇn tö (xa,ya,za) ∈R3, vµ ngîc l¹i mçi phÇn tö →(xa,ya,za)∈R3 t¬ng øng víi mét vÐc t¬ a ∈V, hay tån t¹i mét song ¸nh gi÷a V vµ R3 øng → a ↔ (xa,ya,za) (3_4) → → → To¹ ®é cña i , j , k khi ®ã lµ: → → → i =(1,0,0), j =(0,1,0), k =(0,0,1) Khi ®ã díi d¹ng to¹ ®é ta cã, víi: → → a =(xa,ya,za), b =(xb,yb,zb)Ta cã: → → → a + b =(xa+xb,ya+yb,za+zb) (3_5) λ. a=(λxa,λya,λza) (3_6) 3 c. Kh«ng gian R Trªn R3={x=(x1,x2,x3)xi∈R} xÐt c¸c phÐp to¸n: + x=(x1,x2,x3), y=(y1,y2,y3)∈R3: x+y=(x1+y1,x2+y2, x3+y3) + λ∈R: λx =(λx1,λx2,λx3) Do (3_5) vµ (3_6) dÔ dµng kiÓm tra ®îc hai phÐp to¸n trªn R3 còng tho¶ m·n 8 tÝnh chÊt®· nªu. HiÓn nhiªn mäi x=(x1,x2,x3)∈R3 cã biÓu diÔn duy nhÊt: 1  0 0       x=x1  0  +x2 1  +x3  0   0 0 1       Nªn ta còng gäi: ...