Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 7 - PGS.TS. Hoàng Chí Thành

Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 7 Chu trình euler và Chu trình hamilton, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Chu trình Euler; Điều kiện tồn tại chu trình Euler; Chu trình Hamilton; Điều kiện tồn tại chu trình Hamilton. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết đồ thị: Chương 7 - PGS.TS. Hoàng Chí Thành CHƯƠNG 7 CHU TRÌNH EULER VÀ CHU TRÌNH HAMILTON 1/55 NỘI DUNG Chu trình Euler Điều kiện tồn tại chu trình Euler Chu trình Hamilton\ Điều kiện tồn tại chu trình Hamilton 2/55 7.1. CHU TRÌNH EULER Bài toán 7 cây cầu Định nghĩa chu trình Euler Điều kiện tồn tại chu trình Euler vô hướng Điều kiện tồn tại chu trình Euler có hướng Thuật toán tìm chu trình Euler 3/55 BÀI TOÁN 7 CÂY CẦU  Sông Pregel và cù lao Kneiphof chia thành phố Konigsberg ở nước CH Litva thành 4 vùng đất.  7 cây cầu nối giữa các vùng đất. B A D Pregel C 4/55 BÀI TOÁN 7 CÂY CẦU (tiếp) Bài toán: Liệu có thể đi qua cả 7 cây cầu, mỗi cầu đúng một lần, rồi quay về chỗ xuất phát được hay không? Bài toán đã làm say mê cư dân của thành phố. Họ háo hức đi thử nhưng không thành công. 5/55 BÀI TOÁN 7 CÂY CẦU (tiếp) Năm 1736, L.Euler đã chứng minh rằng bài toán không giải được. Từ bài toán này đưa đến các khái niệm về đường và chu trình Euler. 6/55 BÀI TOÁN 7 CÂY CẦU (tiếp) Biểu diễn mỗi vùng đất bằng một đỉnh của một đa đồ thị vô hướng, hai đỉnh có cạnh nối nếu có cầu nối tương ứng. Bài toán trên đưa về việc tìm một chu trình của đồ thị đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần. b a d c 7/55 ĐƯỜNG VÀ CHU TRÌNH EULER Định nghĩa 7.1 - Đường Euler của đa đồ thị là đường đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần. - Chu trình Euler của đa đồ thị là đường đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần. 8/55 VÍ DỤ 7.1 7 a b 1 3 2 4 6 e 9 10 8 d c 5 Chu trình Euler: E = [1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 6, 7] 9/55 7.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH EULER VÔ HƯỚNG Định lý 7.1 Đa đồ thị G có chu trình vô hướng Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh đều có bậc chẵn. 4 3 5 1 6 2 8 7 9 10/55 7.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH EULER VÔ HƯỚNG (tiếp) Chứng minh định lý 1) Điều kiện cần Mỗi lần chu trình đi qua một đỉnh thì đỉnh đó bớt đi 2 cạnh kề. Cuối cùng, số cạnh kề của mỗi đỉnh bằng 0. Vì vậy, số cạnh kề của mỗi đỉnh phải là một số chẵn. 11/55 7.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH EULER VÔ HƯỚNG (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Điều kiện đủ Xuất phát từ đỉnh a bất kỳ, lập dãy cạnh kề liên tiếp cho đến khi hết khả năng đi tiếp. Khi dừng phải dừng ở đỉnh a vì bậc các đỉnh đều chẵn, thu được chu trình C1. Nếu C1 vét hết các cạnh của đồ thị thì C1 là chu trình cần tìm. Nếu còn cạnh ngoài C1, thì cạnh đó phải kề với đỉnh a1 của C1, xuất phát từ a1 tìm chu trình C2 … 12/55 7.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH EULER VÔ HƯỚNG (tiếp) Chứng minh định lý: Khi C1, C2,… đã vét hết các cạnh của đồ thị, lập chu trình Euler như sau: - Từ đỉnh a đi theo nửa trên của C1 đến a1 - Từ a1 đi theo nửa trên của C2 đến a2 …… - Khi đã đến chu trình con cuối cùng thì đi ngược lại theo nửa dưới các chu trình để trở về a. 13/55 VÍ DỤ 7.2 Tìm chu trình Euler cho đồ thị: 4 3 C1 = [1, 3, 4, 5, 8, 2] 5 1 6 C2 = [2, 3, 5, 6, 7] 2 8 C3 = [6, 9, 7, 8] 7 9 C = [ 1, 3, 4, 5, 8, 2, 3, 5, 6, 9, 7, 8, 6, 7, 2 ] 14/55 7.2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH EULER VÔ HƯỚNG (tiếp) Hệ quả 7.1: Đa đồ thị G có đường đi Euler vô hướng khi và chỉ khi số đỉnh bậc lẻ bằng 2. Chứng minh: 1. Điều kiện cần: Nếu có đường đi Euler vô hướng nối a với b thì a và b là 2 đỉnh duy nhất có bậc lẻ. 2. Điều kiện đủ:  Nếu a, b là 2 đỉnh duy nhất có bậc lẻ, xây dựng G’ từ G bằng cách thêm cạnh (a,b).  G’ không có đỉnh bậc lẻ do đó có chu trình Euler C.  Bỏ cạnh (a,b) khỏi chu trình C, thu được đường Euler trong G. 15/55 7.3. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH EULER CÓ HƯỚNG Định lý 7.2: Đa đồ thị có hướng liên thông G có chu trình Euler có hướng khi và chỉ khi tại mỗi đỉnh số cạnh đi vào bằng số cạnh đi ra: x  V , r-(x) = r+(x) , trong đó: - r-(x): số cạnh đi vào đỉnh x - r+(x): số cạnh đi ra khỏi đỉnh x. ...