Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt

Đây là bài giảng bổ sung cho môn giải tích A3, đây là môn bắt buộc cho tất cả các sinh viên khoa toán tin vào học kỳ thứ 3. Tập bài giảng này không thay thế giáo trình, mục đích của tập bài giảng này là cung cấp tài liệu đọc thêm, sâu hơn, nhưng vẫn sát với nội dung môn học. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó..
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn giải tích A3: Tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt Bài gi ng b sung môn Gi i tích A3: Tích phân B i, Tích phân Đư ng, Tích phân M t Huỳnh Quang Vũ Current address: Khoa Toán-Tin h c, Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu cgia Thành ph H Chí Minh, 227 Nguy n Văn C , Qu n 5, Thành ph H ChíMinh. Email: hqvu@hcmus.edu.vn z Sv r r t y U u ψ V x sTÓM T T N I DUNG. Đây là t p bài gi ng b sung cho môn Gi i tích A3 (TTH024).Đây là môn b t bu c cho t t c các sinh viên Khoa Toán-Tin vào h c kì th 3. T p bài gi ng này không thay th giáo trình. Giáo trình chính tương đươngv i quy n sách c a Stewart [Ste08]. M c đích c a t p bài gi ng này là cung c p tàili u đ c thêm, sâu hơn, nhưng v n sát v i n i dung môn h c. Nh ng ph n có đánh d u * là tương đ i khó hơn. Đây là m t b n th o, s đư c ti p t c s a ch a. B n m i nh t có trên trangweb http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu. Ngày 7 tháng 9 năm 2011 M cl cChương 1. Tích phân b i 1 1.1. Tích phân trên hình h p 1 1.2. S kh tích 5 1.3. Đ nh lí Fubini 12 1.4. Tích phân trên t p t ng quát 15 1.5. Công th c đ i bi n 23Chương 2. Tích phân đư ng 33 2.1. Tích phân đư ng 33 2.2. Đ nh lí cơ b n c a tích phân đư ng 42 2.3. Đ nh lí Green 45Chương 3. Tích phân m t 49 3.1. Tích phân m t 49 3.2. Đ nh lí Stokes 56 3.3. Đ nh lí Gauss-Ostrogradsky 59 3.4. * Đ nh lí Stokes t ng quát 63 3.5. ng d ng c a Đ nh lí Stokes 69Tài li u tham kh o 73Ch m c 75 iiiiv M cl c Đi u duy nh t tôi có th nói là b n ph i làm vi c g ng s c và đó là đi u chúng ta th chi n. B n làm vi c và làm vi c, suy nghĩ và suy nghĩ. Không có công th c nào khác. Mikhail Gromov, 2009. Chương 1 Tích phân b i Trong chương này chúng ta s nghiên c u tích phân Riemann trong khônggian nhi u chi u. Trong môn h c này, khi ta nói đ n không gian Rn thì ta dùng chu n và kho ngcách Euclid, c th n u x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn thì || x || = ( x1 + x2 + · · · + xn )1/2 . 2 2 2 1.1. Tích phân trên hình h p Tích phân trên không gian nhi u chi u là s phát tri n tương t c a tích phânm t chi u. Do đó các ý chính đã quen thu c và không khó. Ngư i đ c có th xeml i ph n tích phân m t chi u đ d theo dõi hơn.1.1.1. Chia nh hình h p. M t kho ng (interval) là m t t p con c a R có d ng[ a, b ] v i a < b. M t hình h p n-chi u (rectangle) là m t t p con c a Rn có d ng [ a1 , b1 ] ×[ a2 , b2 ] × · · · × [ an , bn ].1.1.1. Đ nh nghĩa. Th tích (volume) c a hình h p I = [ a1 , b1 ] × [ a2 , b2 ] × · · · ×[ an , bn ] đư c đ nh nghĩa là s th c | I | = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an ). Khi s chi u n = 1 ta thư ng thay t th tích b ng chi u dài (length). Khin = 2 ta thư ng dùng t di n tích (area). M t phép chia (hay phân ho ch) (partition) c a m t kho ng [ a, b] là m t t pcon h u h n c a kho ng [ a, b] mà ch a c a và b. Ta thư ng đ t tên các ph n t c a m t phép chia là x0 , x1 , . . . , xn v i a = x0 < x1 < x2 < · · · < x n = b.M i kho ng [ xi−1 , xi ] là m t kho ng con (subinterval) c a kho ng [ a, b] tương ngv i phép chia. n M t phép chia c a hình h p I = ∏i=1 [ ai , bi ] là m t tích c a các phép chia c akho ng các kho ng [ ai , bi ]. C th n u m i Pi là m t phép chia c a kho ng [ ai , bi ] nthì P = ∏i=1 Pi là m t phép chia c a hình h p I . M t hình h p con (subrectangle) là m t tích các kho ng con c a các c nh c a nhình h p ban đ u. C th m t hình h p con c a hình h p I có d ng ∏i=1 Ti trongđó Ti là m t ...