Bài giảng môn Toán tin - Chương 5: Đại số Bool

Bài giảng môn "Toán tin - Chương 5: Đại số Bool" cung cấp cho các bạn sinh viên những kiến thức cơ bản của đại số Bool, hàm Bool, biểu đồ Karnaugh, mạch logic. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các bạn sinh viên Công nghệ thông tin dùng làm tài liệu tham khảo phục vụ học tập và nghiên cứu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn Toán tin - Chương 5: Đại số BoolNội dung1. Đại Số Bool2. Hàm Bool3. Biểu đồ Karnaugh4. Mạch logic Xét mạch điện như hình vẽTùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòngđiện đi qua MN. Như vậy ta sẽ có bảng giá trị sauMở đầu A B C MN 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 5 Một đại số Bool (A,,) là một tập hợp A   với hai phép toán , , với hai ánh xạ:  : AA  A (x,y) xy và  : AA  A (x,y)xy thỏa 5 tính chất sau: 6Tính giao hoán:  x, y A xy = yx; xy = yx;Tính kết hợp:  x, y, z A (xy) z = x(y z); (xy) z = x (y z).Tính phân phối :  x, y, z A x(y z) = (xy) (xz); x (y z) = (xy)  (xz). 7Có các phần tử trung hòa 1 và 0: x A x1= 1  x = x; x0= 0  x = x.Mọi phần tử đều có phần tử bù: x A, x A, x x = x  x = 0; x x = x  x = 1. 8 Xét F là tập hợp tất cả các dạng mệnh đề theo n biến p1,p2,…,pn với hai phép toán hội , phép toán tuyển , trong đóta đồng nhất các dạng mệnh đề tương đương . Khi đó F là một đại số Bool với phần tử 1 là hằng đúng 1, phần tử 0 là hằng sai 0, phần tử bù của dạng mệnh đề E là dạng mệnh đề bù E 9Xét tập hợp B = {0, 1}. Trên B ta định nghĩa haiphép toán , như sau:  0 1  0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 Khi đó, B trở thành một đại số Bool 10Hàm Bool n biến là ánh xạ f : Bn  B , trong đó B = {0, 1}. Hàm Bool n biến là một hàm số có dạng :f = f(x1,x2,…,xn), trong đó mỗi biến trong x1, x2,…, xn chỉ nhậnhai giá trị 0, 1 và f nhận giá trị trong B = {0, 1}. Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool n biến. Ví dụ. Dạng mệnh đề E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn là một hàm Bool n biến. 11Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn) Vì mỗi biến xi chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2ntrường hợp của bộ biến (x1,x2,…,xn). Do đó, để mô tả f, ta có thể lập bảng gồm 2n hàng ghi tấtcả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọiđây là bảng chân trị của f 12 Xét kết qủa f trong việc thông qua một quyết định dựavào 3 phiếu bầu x, y, z Mỗi phiếu chỉ lấy một trong hai giá trị: 1 (tán thành) hoặc0 (bác bỏ). Kết qủa f là 1 (thông qua quyết định) nếu được đa sốphiếu tán thành, là 0 (không thông qua quyết định) nếu đasố phiếu bác bỏ.Khi đó f là hàm Bool theo 3 biến x, y, z có bảng chân trị nhưsau: x y z f 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 14Các phép toán trên Fn được định nghĩa như sau:Phép cộng Bool :Với f, g  Fn ta định nghĩa tổng Bool của f và g: f  g = f + g – fg 15Phép nhân Bool :Với f, g Fn ta định nghĩa tích Bool của f và g f  g = fg x=(x1,x2,…,xn)Bn, (f  g)(x) = f(x)g(x) Ta thường viết fg thay cho f  g 16Phép lấy hàm bù:Với f  Fn ta định nghĩa hàm bù của f như sau: f  1 fXét tập hợp các hàm Bool của n biến Fn theo n biến x1, x2,…,xn Mỗi hàm bool xi hay xi được gọi là từ đơn. Đơn thức là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn. Từ tối tiểu là tích khác không của đúng n từ đơn. Công thức đa thức là công thức biểu diễn hàm Bool thành tổng của các đơn thức. Dạng nối rời chính tắc là công thức biểu diễn hàm Bool thành tổng của các từ tối tiểu.x, x, y, y, z, z, t , t là các từ đơnx yzt; x yt là các đơn thứcx yz t là một đơn thức tối tiểuf  xy z  yz 19Đơn giản hơn Cho hai công thức đa thức của một hàm Bool : f = m1 m2 …. mk (F) ...