Bài giảng Phân tích thiết kế giải thuật - Chương 37: Giải thuật xấp xỉ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu về Công nghệ thông tin, mời các bạn cùng tham "Bài giảng Phân tích thiết kế giải thuật - Chương 37: Giải thuật xấp xỉ" dưới đây. Nội dung bài giảng cung cấp cho các bạn những kiến thức về cách tiếp cận một bài toán NP-đầy đủ, bài toán che phủ đỉnh, giải thuật xấp xỉ, ... Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phân tích thiết kế giải thuật - Chương 37: Giải thuật xấp xỉ Giải Thuật Xấp Xỉ Chapter 37 Approximation Algorithms Tiếp cận một bài toán NP­đầy đủ ° Nếu một bài toán là NP­đầy đủ thì không chắc rằng ta sẽ tìm được  một giải thuật thời gian đa thức để giải nó một cách chính xác. ° Tiếp cận một bài toán NP­đầy đủ   1) Nếu các input có kích thước nhỏ thì một giải thuật chạy trong  thời gian số mũ vẫn có thể thoả mãn yêu cầu   2) Thay vì tìm các lời giải tối ưu, có thể tìm các lời giải gần tối ưu  trong thời gian đa thức. 21.5.2004 Chương 37 2 Approximation Algorithms Giải thuật xấp xỉ ° Một giải thuật xấp xỉ  là một giải thuật trả về lời giải gần tối ưu. ° Giả sử: chi phí của lời giải   0. Gọi C   là chi phí của lời giải tối ưu.   Một giải thuật xấp xỉ cho một bài toán tối ưu được gọi là có tỉ số  xấp xỉ  (n  (approximation ratio, ratio bound) nếu với mọi input có  kích thước n thì chi phí của lời giải do giải thuật xấp xỉ tìm được sẽ  thoả • max(C C  , C   C    r(n 21.5.2004 Chương 37 3 Approximation Algorithms Giải thuật xấp xỉ ° Chi phí của lời giải do giải thuật xấp xỉ tìm được thỏa, với tỉ số  xấp xỉ  (n ,  • max(C C  , C   C    r(n    – Bài toán tối đa: 0   C   C  , vậy   max(C C  , C   C  = C   C   r(n  .   Chi phí của lời giải tối ưu   r(n  lần chi phí của lời giải gần  đúng. – Bài toán tối thiểu: 0   C    C, vậy   max(C C  , C   C  = C C    r(n  .   Chi phí của lời giải gần đúng    (n  lần chi phí của lời giải tối  ưu. ° Một giải thuật xấp xỉ có tỉ số xấp xỉ  (n  được gọi là một giải  thuật  (n ­xấp xỉ. 21.5.2004 Chương 37 4 Approximation Algorithms Bài toán che phủ đỉnh   Nhắc lại ° Một che phủ đỉnh (vertex cover) của một đồ thị vô hướng G = (V, E)  là một tập con V’   V sao cho nếu (u, v)   E thì u   V’ hay v   V’  (hoặc cả hai   V’).   Kích thước của một che phủ đỉnh là số phần tử của nó. ° Bài toán che phủ đỉnh là tìm một che phủ đỉnh có kích thước nhỏ  nhất trong một đồ thị vô hướng đã cho.   Bài toán này là dạng bài toán tối ưu của ngôn ngữ NP­đầy đủ   VERTEX­COVER   { G, k  : đồ thị G có một che phủ đỉnh có kích  thước k} . 21.5.2004 Chương 37 5 Approximation Algorithms Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che phủ đỉnh APPROX­VERTEX­COVER(G) 1 C    2 E’   E[G] 3 while E’    4 do xét (u, v) là một cạnh bất kỳ của E’ 5      C   C   {u, v} 6      tách khỏi E’ tất cả các cạnh liên thuộc tại u hay v 7 return C 21.5.2004 Chương 37 6 Approximation Algorithms Thực thi APPROX­VERTEX­COVER b c d b c d a e f g a e f g b c d b c d a e f g a e f g b c d b c d a e f g a e f g 21.5.2004 Chương 37 7 Approximation Algorithms Phân tích APPROX­VERTEX­COVER   Nhận xét: Thời gian chạy của APPROX­VERTEX­COVER là O(E).   Định lý 37.1   APPROX­VERTEX­COVER là một giải thuật 2­xấp xỉ trong thời gian  đa thức. 21.5.2004 Chương 37 8 Approximation Algorithms Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác ° Cho một đồ thị đầy đủ vô hướng G = (V, E) cùng với một hàm chi  phí c : E   Z+. Tìm một chu trình hamilton (một tour) của G với phí  tổn nhỏ nhất. °  Điều kiện: Hàm chi phí c: E   Z+ thỏa mãn bất đẳng thức tam giác   c(u, w)   c(u, v) + c(v, w),  u, v, w   V . APPROX­TSP­TOUR(G, c) 1     chọn một đỉnh r   V G  làm một đỉnh “gốc” 2     nuôi lớn một cây khung nhỏ nhất T cho G từ  gốc r dùng giải thuật MST­PRIM(G, c, r) 3     gọi L là danh sách các đỉnh được thăm viếng  bởi phép duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự 4     return chu trình hamilton H viếng các đỉnh  theo thứ tự L 21.5.2004 Chương 37 9 Approximation Algorithms Thực thi APPROX­TSP­TOUR lên một ví dụ a d a d e e b f g b f g c c h h (a) (b) Cây khung nhỏ nhất T tính bởi MST­ PRIM, đỉnh a là đỉnh gốc.  21.5.2004 Chương 37 10 Approximation Algorithms Thực thi APPROX­TSP­TOUR lên một ví dụ (tiếp) a ...