Bài giảng Phương pháp số: Chương 7 - TS. Lê Thanh Long

Bài giảng "Phương pháp số" Chương 7: Xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Các phương pháp xấp xỉ thông dụng; xấp xỉ trên phần tử tham chiếu; phép biến đổi hình học. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp số: Chương 7 - TS. Lê Thanh LongTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG 7 XẤP XỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TS. Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn 1Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 7.1 Các phương pháp xấp xỉ thông dụng 7.2 Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 7.3 Phép biến đổi hình học 2Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.1. Các phương pháp xấp xỉ thông dụng • Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve. 3Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.1. Các phương pháp xấp xỉ thông dụng Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau: - Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó, - Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau. Các miền con ve được gọi là các phần tử. 4Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.2. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 7.2.1 Bài toán nội suy tổng quát Một hàm số y  f ( x) chỉ xác định được tại các điểm: xo  a  x1  ...  xn  b : yi  f ( xi )i  n Ta cần tìm một biểu thức giải tích đủ đơn giản g ( x) để xác định giá trị gần đúng của y : y  g ( x ) tại các điểm x   a, b  sao cho tại các điểm xi ta có g(xi )  yi . 5Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.2. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 7.2.1 Bài toán nội suy tổng quát Về phương diện hình học, ta cần tìm hàm g có đồ thị đi qua các điểm ( xi , f ( xi )) như trong hình 6Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.2. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 7.2.1 Bài toán nội suy tổng quát Giả sử đã biết các giá trị yi của hàm số tại các mốc nội suy xi tương n ứng. Cho trước hàm phụ thuộc (n+1) tham số độc lập  j 0 c j  ,  (c0 , c1 ,..., cn , x) thỏa mãn các điều kiện nhất định. Người ta xác định các cj cho biểu thức nội suy nhờ hệ phương trình:  (c0 , c1 ,..., cn , x)  yk , k  o, n n Với các c j  j 0 đã xác định nhờ điều kiện, hàm g ( x)   (c0 , c1 ,..., cn , x) gọi là hàm nội suy và dùng làm công thức để tính giá trị f(x) 7Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.2. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 7.2.2 Đa thức Lagrange Lagrange đã xây dựng đa thức nội suy đơn giản sau đây: n Ln ( x)   yk Lk ( x) n k 0 Trong đó, Ln ( x) đa thức bậc n có n nghiệm x  x j ; j  kvà là = 1 hay = ∀ ≤ Ta thấy được ∏ ( − ) = ∏ ( − ) Như vậy, là đa thức cần tìm. 8Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.2. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 7.2.2 Đa thức Lagrange Hoặc − = − Với n là số nút là tọa độ nút thứ m 9Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khíTrường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 7.2. Xấp xỉ trên phần tử tham chiếu 7.2.2 Đa thức Hermite Bài toán nội suy Hermite là bài toán mở rộng của nội suy Lagrang ...