Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 - Ngô Thu Lương

Bài giảng "Phương pháp tính - Chương 1: Giải phương trình f(x)=0" cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, công thức sai số tổng quát, phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn. Mời các bạn cùng tham kihaor nội dung chi tiết.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 - Ngô Thu LươngChöông I : Giaûi phöông trình f(x)=01)Ñònh nghóa: Khoaûng [ a , b ] goïi laø moätkhoaûng caùch ly nghieäm neáu trong khoaûng ñoùphöông trình f ( x ) = 0 chæ coù duy nhaát moätnghieäm .Ñònh lyù:Neáu f (x) khaû vi lieân tuïc treân [ a , b ]1) f ( x) giöõ daáu treân [ a , b]2) f ( a ) f (b) < 0thì [ a , b ] laø khoaûng caùch ly nghieäm .Ví duï : Phöông trình x 4 − 4 x − 1 = 0f (1.5) = − 1.94 < 0f ( 2) = 7 > 0 .Haøm ñôn ñieäu trong [1.5 , 2] f ( x) > 0khoaûng caùch ly nghieäm : [1.5 , 2 ]khoaûng caùch ly nghieäm thứ 2 : [−1 , 0 ] (BTập)2)Coâng thöùc sai soá toång quaùt : xd : nghieäm ñuùng cuûa f ( x) = 0 x gd : nghieäm gaàn ñuùng. f ( xgd )Coâng thöùc sai soá : x gd − xd ≤ (1) m Kyù hieäu : (1) m = Min f (x) , ∀ x∈[ a , b ]Ví duï : Phöông trình x 4 − 4 x − 1 = 0 xeùt trongkhoaûng caùch ly nghieä m : [1.5 , 2 ]giaû söû x gd = 1.663 . Ñaùnh giaù sai soá tuyeä t ñoá i f (1.663) = 0.003629 m(1) = 9.5 0.003629 sai soá : 1.663 − x * ≤ ≈ 0.0004 9.53)Phöông phaùp chia ñoâi :a)Noäi dung :Neáu [ a , b ] laø khoaûng caùch ly nghieäm thì a+b a+b[a, ] hoaëc [ , b ] seõ laø khoaûng caùch 2 2ly nghieäm môùi .Laëp laïi quaù trình phaân chia naøy nhieàu laàn .b) Ñaùnh giaù sai soá : (b − a ) xn − xd ≤ 2n +1c)Nhaän xeùt :Luoâ n cho nghieä m gaà n ñuù ng.Giaû i thuaät ñôn giaûn.Toá c ñoä hoä i tuï khaù chaä m .Ví duï 1: Phöông trình x − cos x = 0 vôùikhoaûng caùch ly nghieäm [ 0 , 1] , chia ñoâi tôùi x4Keát quaû cho theo baûng sau Sai soá phöông phaùp chia đôi laø b−a 1 = = 0.3125 5 32 2Ví duï 2 : Giaûi phöông trình x − e −x = 0 vôùikhoaûng caùch ly nghieä m [ 0 ,1] ñeán x3 0.5 0.75 0.625 0.56252) Phöông phaùp laëp ñôn(phöông phaùp ñieåm baát ñoäng, phöôngphaùp aùnh xaï co )a) Noäi dung :*) Ñöa phöông trình f ( x ) = 0 veà daïng töông ñöông x = ϕ(x)*) Kieåm tra ñieàu kieän ñoái vôùi haøm ϕ(x ) : Max ϕ ( x) = q < 1 ∀x ∈[a, b]*) Laáy x0 laø moät giaù trò ban ñaàu tuøy yù ∈[ a, b ] Xaây döïng daõy laëp : x1 = ϕ( x0 ) x2 = ϕ( x1 ) x3 = ϕ( x2 ) Laáy n höõu haïn xn = x gdb) Ñaùnh giaù sai soá : q n x1 − x0 1) xn − x * ≤ 1− q ( ñaù nh giaù tieân nghieäm ) q xn − xn −1 2) xn − x * ≤ 1− q ( ñaù nh giaù haäu nghieäm )c) Nhaän xeùt : Coù voâ soá caù ch choïn haøm ϕ(x ) Haøm ϕ(x ) coù tính chaá t q < 1 goï i laø haøm co q laø heä soá co q caøng nhoû thì toác ñoä hoäi tuï caøng cao q ≥ 1 Khoâng söû duïng ñöôïcVí duï1 : Xeùt phöông trình x 3 + x − 1000 = 0trong khoaû ng caù ch ly nghieä m [9, 10 ]a) x 3 + x − 1000 = 0 x = 1000 − x 3 ϕ( x) = 1000 − x 3 ϕ ( x) = − 3x 2 ϕ ( x) = 3 x 2 q = Max ϕ ( x) = 300 > 1 Khoâng söû duïng ñöôïcb) x 3 + x − 1000 = 0 3 x = 1000 − x x = 3 1000 − x ϕ( x) = 3 1000 − x −1 ϕ ( x) = 33 (1000 − x) 2 1 ϕ ( x) = 3 3 (1000 − x) 2 1 q = Max = 0.003355742403 3 2 3 (1000 − x ) x0=10.0 9.966554934 9.966667166 9.966666789 9.966666791Sai số hậu nghiệm x4 6.74 × 10−12c) x 3 + x − 1000 = 0 x3 = 1000 − x 2 1000 − x x = x 1000 − x x= x 1000 − x ϕ( x) = x Vôùi x0 = 10 ta coù xgd = 9,966666791 vôùi soá böôùc laëpPhöông phaùp Newton ( Phöông phaùp Tieáp tuyeán )a) Noäi dung : Ñöa f ( x) = 0 veà daïng laëp f ( x) x = x− = ϕ( x) . f ( x) Choïn x0 f ( x0 ) x1 = x0 − f ( x0 ) f ( x1) x2 = x1 − f ( x1)b) Ñaùnh giaù sai soá : Sai soá theo coâng thöùc sai soá toång quaùt f ( x gd ) x gd − x * ≤ m (1)c)Nhaän xeùt :Phöông phaùp sử dụng được neáu f ( x) vaø f ( x)khoâng ñoåi daáu treân kho ...