Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng - Đạo hàm và tích phân

Bài giảng “Phương pháp tính – Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân” cung cấp cho người học các kiến thức: Tính gần đúng đạo hàm, tính gần đúng tích phân. Bài giảng hữu ích với các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Tính gần đúng - Đạo hàm và tích phân Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNGĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂNI. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) và bảng số x xo x1 x2 ... xn y yo y1 y2 ... yn Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng đa thức nội suy Lagrange Ln(x) (hay đa thức nội suy Newton) Ta có1. TH bảng chỉ có 2 điểm nút : x x0 x1 Đặt h = x1- x0 y y0 y1 Đa thức nội suy Lagrange Suy ra công thức đạo hàm cho 2 điểm :❖ Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x. Tính xấp xỉf’(1.8) với h = 0.1, 0.01, 0.001 giải Ta có h f’(1.8) 0.1 0.540672212 0.01 0.554018037 0.001 0.555401292 f’(1.8) = 0.5555555552. TH bảng có 3 điểm nút cách đều : x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 h = x2 - x1 = x1 - x0 Đa thức nội suy LagrangeDo đó với mọi x ∈ [x0, x2] ta có Suy ra đạo hàm cấp 1Công thức thứ 1 gọi là công thức sai phân tiếnCông thức thứ 2 gọi là công thức sai phân hướngtâm thường viết dưới dạng (thay x1 = x0)Công thức thứ 3 gọi là công thức sai phân lùithường viết dưới dạng (thay x2 = x0)đạo hàm cấp 2 Thay x1 = x0 ta được❖ Ví dụ : Cho hàma. Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(1.25) với h = 0.01b. Tính xấp xỉ f”(1.25) với h = 0.01 giải -0.320416958 So với kết quả chính xác f’(1.25)= -0.320422170423379 -0.526643001So với kết quả chính xácf”(1.25) = -0.526640385697715 Bài tập : Cho hàm f và bảng số cách đều x 1.2 1.4 1.6 1.8 y 2.32 2.53 2.77 2.89Xấp xỉ f bằng đa thức Newton tiến, tính gần đúng f’(1.25) Giải : Ta lập bảng các sai phân hữu hạn xk f(xk) Δyk Δ2yk Δ3yk 1.2 2.32 0.21 Newton tiến 1.4 2.53 0.03 0.24 -0.15 1.6 2.77 -0.12 0.12 Newton lùi 1.8 2.89II. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN :Cho hàm f(x) xác định và khả tích trên [a,b]. Tacần tính gần đúng tích phân :Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn bằngnhau với bước h = (b-a)/nxo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b1. Công thức hình thang mở rộng :❖ Công thức sai số :2. Công thức Simpson mở rộng: ❖ Công thức sai số :Chú ý : với công thức simpson n phải là số chẵn❖ Ví dụ : Tính gần đúng tích phân a. Dùng công thức hình thang mở rộng với n = 5 b. Dùng công thức Simpson mở rộng với n = 8giảia. h=0.2, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=5 đoạnbằng nhau x0 = 0 < x1 = 0.2 < x2 = 0.4 < x3 = 0.6 < x4 = 0.8 < x5 = 1 Công thức hình thang = 0.945078781b. h=0.125, phân hoạch đoạn [0,1] thành n=8 đoạnbằng nhau x0 = 0 < x1 = 0.125 < x2 = 0.25 < x3 = 0.375 < x4 = 0.5 x5 = 0.625 < x6 = 0.75 < x7 = 0.875 < x8 =1Công thức Simpson = 0.94608331❖ Ví dụ : Dùng phương pháp simpson tính gần đúng tích phân với f cho bới bảng số x 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 f(x) 0.68 0.95 1.16 2.25 3.46 5.57 6.14giải Công thức Simpsonx 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2y 2.9584 4.3730 5.8358 14.65 30.9609 76.3038 98.6471 I = 37.1004