Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 trình bày phương pháp giải xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng. Nội dung chương này bao gồm: Ba dạng phương trình đạo hàm riêng cơ bản, phương trình Elliptic, bài toán Laplace, phương trình Parabolic, bài toán truyền nhiệt, sơ đồ hiện – ẩn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính: Chương 6 - TS. Nguyễn Quốc Lân BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK -------------------------------------------------------------------------------------PHƯƠNG PHÁP TÍNH – CHƯƠNG 6GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (05/2006) NỘI DUNG---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1- BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN2 –PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC. BÀI TOÁN LAPLACE3– PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC. BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT. SƠ ĐỒ HIỆN – ẨN BA DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CƠ BẢN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ∂u ∂u 2 2 Phương trình elliptic (tĩnh – static): + 2 = f ( x, y ) ∂x ∂y 2 2 ∂u 2∂ u Phương trình parabolic (truyền nhiệt): −a =0 ∂t ∂x 2 ∂ 2u ∂ 2u Phương trình hyperbolic (truyền sóng): − a2 2 = 0 ∂t 2 ∂x ( x, t + ∆t ) ∂u u ( x, t + ∆t ) − u ( x, t )Xấp xỉ đạo hàm riêng: ( x, t ) ≈ ∆t ∂t ∆t ( x, t )∂ 2u u ( x + ∆x, y ) − 2u ( x, y ) + u ( x − ∆x, y ) ∆x ( x, y ) ≈∂x 2 ( ∆x ) 2 x − ∆x x x + ∆x P4∂ u ∂ u u ( P ) + u ( P2 ) + u ( P3 ) + u ( P4 ) − 4u ( P ) P 2 2 P P3 + 2≈ 1 1∂x ∂y 2 ( ∆x ) 2 P2 BÀI TOÁN ELLIPTIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ptrình Poisson (f ≡ 0: Laplace) & điều kiện biên Dirichlet  ∂ 2u ∂ 2u ∆u = 2 ( x, y ) + 2 ( x, y ) = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ Ω ⊂ R 2  ∂x ∂y u ( x, y ) = g ( x, y ), ( x, y ) ∈ Γ = ∂Ω  ∂ 2u ∂ 2uToán tử Laplace: u = u ( x, y ) ⇒ ∆u = 2 + 2 ∂x ∂y Giải bằng sai phân hữu Ω : ∆u = f ( x, y ) hạn: Chia nhỏ Ω . Tính xấp xỉ giá trị nghiệm u Γ : u = g ( x, y ) tại các điểm chia MINH HỌA Ý TƯỞNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính giá trị nghiệm u(x, y) của bài toán sau:  ∂ 2u ∂ 2u ∆u = ∂x 2 + ∂y 2 = 2 y + 4 x, 1 < x < 4, 1 < y < 3  Ñieàu Kieän Bieân :  u ( x,1) = x 2 + 2 x, 1≤ x ≤ 4 ( *) u ( 4, y ) = 8 y 2 + 16 y, 1 ≤ y ≤ 3  u ( x,3) = 3 x 2 + 18 x, 1 ≤ x ≤ 4  u (1, y ) = 2 y 2 + y, 1≤ y ≤ 3 tại các điểm chia bên trong miền đang xét với bước chia cách đều ∆ x = ∆ y = 1 GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ELLIPTIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phân hoạch Ω : Chia nhỏ Ω bởi các đường thẳng // ...