bài giảng sức bền vật liệu, chương 7

Hệ trục quán tính chính. Đối với một hình phẳng có một trục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quán tính chính trung tâm (hệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục là trục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm). Và việc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản. Thế nhưng đối với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biết trọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
bài giảng sức bền vật liệu, chương 7Chương 7: HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH - CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MÔ MEN QUÁN TÍNH. 4.5.1. Hệ trục quán tính chính. Đối với một hình phẳng có mộttrục đối xứng thì khi đã biết trọng tâm, ta có ngay một hệ trục quántính chính trung tâm (hệ trục này có gốc ở trọng tâm, một trục làtrục đối xứng và trục kia vuông góc với nó đi qua trọng tâm). Vàviệc xác định mô men quán tính chính của nó là đơn giản. Thếnhưng đối với một hình không có trục đối xứng nào thì khi đã biếttrọng tâm của nó vẫn chưa thể xác định hệ trục quán tính chínhtrung tâm và cũng chưa thể xác định được các mô men quán tínhchính đó được. Dưới đây ta hãy nghiên cứu vấn đề này, trước hết tanhắc lại một số định nghĩa: Định nghĩa: Trong mặt phẳng chứa mặt cắt ngang, xác địnhmột hệ trục vuông góc Oxy sao cho Jxy=0 và Sx=Sy=0, thì ta gọihệ trục đó là hệ trục quán tính chính trung tâm. 1 Lúc đó mô men quán tính của mặt cắt ngang đối với các trụcquán tính chính trung tâm được gọi là “mô men quán tính chínhtrung tâm”. Khi giải các bài toán sức bền vật liệu, ta thường sửdụng đến các hệ trục quán tính chính trung tâm và các mô menquán tính chính trung tâm. Bây giờ còn phải xác định vị trí của hệtrục chính. Muốn vậy, nói chung ta cần xét sự biến thiên của cácmô men quán tính khi xoay trục. 4.5.2. Công thức xoay trục của mô men quán tính. Xét một mặt cắt ngang biểu diễn ở hình 4.18. Giả sử biết Jx,Jy, Jxy của mặt cắt ngang. Bây giờ chọn hệ trục toạ độ xoayquanh Omột góc , ta được hệ trục mới Ouv. Tìm ysự liên hệ v Fgiữa Jx, Jy, Jxy với JU, JV, JUV. Ta có công thức chuyển trục: A dF u u  x  y sin  y cos u v  y x sin  v   cos O 2 x Nên J u y cos  x sin  dF x :    J x cos 2   J sin 2  2Jxy sin 2 Cuối cùng ta có: J x J x J y J J u  y  cos 2 J xy Hình 4.18: Sơ đồ sin 2 xoay trục để 2 2 tính Chú ý: Dùng công mô men quán thức: cos 2   1 tính cos 2 2 va sin 2   1 Tương tự: cos 2 2  J J  J J J  JU  x y  x  x y  2 Jx 2 Jy cos2 2 Jy J xy sin 2  J V  cos  J xy (4-10)  2 2 2 sin 2 J  Jx J  UV y sin 2  Jcos 2 2 xy Đó là công thức xoay trục của mô men quán tính. Ta rút ra những nhận xét : * JU + JV = Jx + Jv * Các công thức trên giống công thức tính U, V, UV * Điều kiện để xác định hệ trục chính là: JUV = 0 Hoàn toàn giống điều kiện xác định mặt chính trong trạng thái ứng suất UV = 0. Vì vậy ở đây ta có thể sử dụng ngay các kết quả đã nghiên cứu ở chương trước đểxác định hệ trục chính và mô men quán tính chính. J  Jy J max/ min  (J J  4J 2 xy (4-11) 1 x  x y) 2 2 2 3  J xy  tg  J J 1 (4-12) y / max/ min 24.6. VÒNG TRÒN MOHR QUÁN TÍNH. Để xác định các trục chính, các ứng suất chính của một hìnhphẳng nào đó ta cũng có thể sử dụng phương pháp hoạ đồ như đốivới việc xác định phương chính, ứng suất chính đối với bài toántrạng thái ứng suất. Thật vậy đối chiếu các công thức tính mô menquán tính chính, xác định phương chính bằng giải tích như (4-10),(4-11) và (4-12) với các biểu thức xác ...