Bài giảng Toán 1 - Ths. Lê Thị Minh Hải

Bài giảng Toán 1 khái quát các nội dung cơ bản khái quát các nội dung cơ bản của Toán học 1 đi từ cơ bản đến nâng cao. Ngoài những khái niệm, ví dụ minh họa, cuối bài giảng còn có phần bài tập giúp người học có thể nắm bắt và củng cố nội dung bài học một cách khái quát nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán 1 - Ths. Lê Thị Minh HảiBài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Bài s 1 Gi i h n và tính liên t c c a hàm s1.1. Hàm s m t bi n s1. nh nghĩa hàm s Cho 2 t p h p D và E là các t p con c a R . Tương ng f : D → E cho tương ngm i ph n t x ∈ D v i duy nh t m t ph n t y ∈ E ư c g i là hàm s m t bi n sth c. + T p D ư c g i là mi n xác c a f. + T p f(X) ư c g i là mi n giá tr c a f. + x ∈ D ư c g i là bi n s c l p ( hay i s ). + f ( x ), x ∈ D ư c g i là bi n s ph thu c ( hay hàm s ).2. th c a hàm s : Gf = {( x, f ( x )) | x ∈ A}+ Cách nh n bi t th theo phương pháp ki m tra ư ng th ng ng: M t ư ngcong trong m t ph ng xy là th c a m t hàm c a x n u và ch n u ư ng th ngsong song v i Oy c t ương cong ó t i nhi u nh t m t i m. th hàm s Không là th hàm s1.2 Gi i h n hàm s :1. Ví d 1: Xét hàm s y = f ( x ) = x 2 − x + 2 . Ta l p b ng các giá tr c a hàm s t inh ng i m x g n x0 = 2 .Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Nh n th y khi x ti n g n n x0 = 2 thì các giá tr các hàm s f ( x ) ti n g n n 4.Ta nói r ng hàm s có gi i h n b ng 4 khi x → x0 = 2 .2. nh nghĩa gi i h n hàm s nh nghĩa 1: Ta nói hàm s f ( x ) có gi i h n L (h u h n) khi x → x0 và vi tlim f ( x ) = L n u v i b t kỳ dãy { xn } mà xn → x0 thì lim f ( xn ) = L .x → x0 n →∞ nh nghĩa 2: theo ngôn ng δ − ε . lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε x → x0Chú ý+ N u hàm f ( x ) không tho mãn nh nghĩa, ta nói r ng f ( x ) không có gi i h n khix → x0 , ho c lim f ( x ) không t n t i. x → x0+ Khi tìm gi i h n, ta ch quan tâm n các giá tr “x d n t i x0 ” ch không ph i xétkhi x = x0 . Do ó hàm s f ( x ) có th không xác nh t i x = x0 nhưng ph i xác nh t i các i m thu c lân c n c a i m ó. x −1 Ví d 2: Hàm s f ( x ) = 2 không xác nh t i x = 1. Ta l p b ng tính các giá tr x −1c a f ( x ) khi x → 1. T ó xem f ( x ) d n n giá tr nào. Nh n th y khi x ti n g n n x0 = 1 thì các giá tr các hàm s f ( x ) ti n g n n0,5. Ta nói r ng hàm s có gi i h n b ng 0,5 khi x → x0 = 1.Bài gi ng Toán 1 Ths Lê Th Minh H i Cách mô t này ch y u cho ta dáng i u c a f(x) khi x g n a, d oán giá tr c agi i h n, có l i v tr c giác và phù h p v i m c ích th c hành. Tuy nhiên khôngch t ch . x −1 1 S d ng nh nghĩa, ch ra r ng lim 2 = . x →1 x − 1 2Th t v y, cho trư c ε > 0 , ch n δ = ε . Ta có: x −1 < δ thì x −1 1 x −1 2 − = < x − 1 < ε ( v i x trong lân c n c a 1). x −1 2 x +1 1Ví d 3: Tìm gi i h n lim cos x →0 x 1Gi i: t f ( x ) = cos . x 1+V i x= , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 1. 2nπ 1 1+V i x= , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 0 . V y lim cos không t n t i. π x →0 x + 2nπ 23. Gi i h n vô c c nh nghĩa:+ lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 l n, sao cho ∀x > N ⇒ f ( x ) − L < ε . x →+∞+ lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 l n, sao cho ∀x < −N ⇒ f ( x ) − L < ε . x →−∞ 1Ví d 4: Ch ng minh r ng lim =0. x →+∞ x 1 1+T −0 < ε ⇔ x > . x ε2 1+ Ta có: ∀ε > 0 , ch n N = 2 . Khi ó ∀x > N ⇒ f ( x ) − 0 < ε . ε4. Các tính ch t c a gi i h n nh lí 1: Gi s c là h ng s và lim f ( x ) = L, lim g ( x ) = M . Khi ó x →a x →a 1. lim [f ( x ) + g ( x )] = L + M 2. lim [f ( x ) − g ( x )] = L − M x →a x →a 3. lim c.f ( x ) = cL 4. lim f ( x ).g ( x ) = L.M x →a x →a f (x) L 5. lim = n u M ≠ 0. x →a g( x ) M nh lý 2: ( v gi i h n k p) Gi s các hàm s f ( x ), g ( x ), h( x ) tho mãn b t ng th c f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )trong lân c n c a i ...