Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - Hoàng Văn Thắng

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 trình bày về hệ phương trình tuyến tính như phương pháp ma trận và định thức, hệ phương trình tuyến tính tổng quát. Mỗi phần bài giảng có bài tập và lời giải giúp sinh viên giải các bài tập về hệ phương trình tuyến tính tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - Hoàng Văn Thắng Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT)Ta đã biết một phương pháp sơ cấp đểgiải hệ pttt (pp Gauss). Chương này sẽđưa thêm một phương pháp khác đểkhảo sát hệ pttt một cách tổng quáthơn nhờ vào công cụ ma trận và địnhthức.Các vấn đề định tính và định lượng,chẳng hạn: Khi nào hệ có nghiệm? Cóbao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợpnghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ được giảiđáp trong chương quan trọng này.Tât nhiên trong thực hành ta có thể kếthợp nhiều phương pháp để cho kếtquả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!Trước tiên ta xét hai phương pháp làphương pháp ma trận và phươngpháp định thức để giải một loại hệ đặcbiệt là: Hệ Cramer § 1: Phương pháp ma trận và định thức1. Hệ Cramer:Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏamãn 2 điều kiện: Số phương trình bằng số ẩn. Ma trận hệ số không suy biến ( ( )≠ )Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có là hệCramer? + − = + − =− + + =Giải: Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= ) − = = − = ≠Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.2. Phương pháp ma trận.Một hệ pttt luôn viết được dưới dạngma trận: AX = B (1)Nếu hệ (1) là hệ Cramer thì = ( )≠ ⟶∃ . Từ đó, = ⟺ = ⟺ = ⟺ =Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệmduy nhất: =Phương pháp giải hệ nhờ công thứctrên được gọi là phương pháp ma trậnVí dụ: Giải hệ sau bằng phương phápma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo): + − = + − =− + + =Giải: − = = − = ≠ Hệ trên là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất: = GABRIEL CRAMER ( 1704 – 1752)Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tạiGeneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752 ởBangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rấtnhiều cố gắng trong việc học tập.Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạtđược học vị tiến sĩ cho luận án dựatrên lý thuyết của âm thanh. Cramer nổitiếng là một người biên soạn thiên tài.Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “Introduction à l’analyse des lignescourbes algébraique”, trong đó có quitắc Cramer nổi tiếng.Định lý sau đây còn gọi là Quy tắcCramer:Định lý: Hệ Cramer n ẩn số , , … ,luôn có nghiệm duy nhất xác định bởicông thức: = , = ,…, =Trong đó, = ( ), A - ma trận hệ số Cột thứ j Các cột còn lại giống hệt = của d ⋮Chứng minh:Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất: = ⋯ ⋯⋮ = ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯⟶ = ⋯ ⋮ = + +⋯+ Chính là ⟶ = ∎Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer + − = + − =− + + =Giải: − = = − = ≠Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệCramer, khi đó hãy giải hệ bằng quytắc Cramer. + − = − + − =− + + =Giải: − = = − − = + §2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT1. Các dạng biểu diễn của hệ phươngtrình. Dạng khai triển (dạng tổng quát):Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số , ,…, có dạng: + + ⋯ + = + + ⋯ + = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + + ⋯ + = Dạng ma trận =  = : ma trận hệ số ×  = : cột ẩn số ⋮ × Nhận xét: Hệ có nghiệm ⟺ Cột  = số hạng tự do B cột số hạng tự do. : biểu diễn tuyến ⋮ tính qua các cột của ma trận hệ số ×, , … , . Dạng véc tơ: + + ⋯+ =  :cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của ma trận hệ số)2. Điều kiện có nghiệmĐịnh lý (Cronecker - Capelli)“Hệ phương trình tuyến tính cónghiệm khi và chỉ khi hạng của matrận hệ số bằng hạng của ma trận mởrộng: = ”Chứng minh(gồm hai phần) Giả sử hệ có nghiệm, t ...