Bài giảng Toán cao cấp A3 - Bành Thị Hồng và Lai Văn Phút

Bài giảng Toán cao cấp A3 do Bành Thị Hồng và Lai Văn Phút biên soạn, cung cấp cho người học những kiến thức như: Kiến thức chuẩn bị; tích phân bội; tích phân đường; phương trình vi phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A3 - Bành Thị Hồng và Lai Văn PhútBài giảng Toán cao cấp A3Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1. Mặt bậc hai Cho hàm hai biến z  f  x, y  . Đồ thị của nó chính là một mặt cong trong khônggian R 3 xác định bởi G  f    x, y,f  x, y    3  /  x, y   Df . VD1: Đồ thị hàm z  1  x  y là mặt phẳng qua ba điểm1, 0, 0  ,  0,1, 0  ,  0, 0,1 VD2: Khảo sát đồ thị hàm z  x 2  y 2 Nhận xét: i.  x, y   2 ,z  0 ii. Đồ thị đối xứng qua hai mặt x  0, y  0 và cắt hai mặt này theo các parabol z  y2 , z  x 2 . iii. Đồ thị cắt mặt phẳng z  h  0 theo các đường tròn x 2  y 2  h Như vậy, khi h thay đổi từ 0 đến  các đường tròn trên vẽ nên đồ thị, được gọi là mặt paraboloit eliptic. Ngoài ra chúng ta còn khảo sát một số mặt bậc hai có phương trình tổng quát làAx  By 2  Cz 2  2Dxy  2Eyz  2Fxz  Gx  Hy  Iz  K  0 trong đó có ít nhất một hệ số 2bậc hai khác không. Các trường hợp suy biến 1. x 2  1  0 : tập trống. 2. x 2  y 2  z 2  0 : một điểm gốc tọa độ  0, 0, 0  . 3. x  0, y  0, z  0 : Các mặt Oyx, Oxz, Oxy . 4. x 2  y 2  0 : Đường thẳng là giao của hai mặt x  0, y  0 .2. Các mặt bậc hai chính tắcTên Phương trình Đồ thịBành Thị Hồng – Lai Văn Phút 1Bài giảng Toán cao cấp A3Elipxoit x 2 y2 z2   1 a 2 b2 c2Paraboloit eliptic x 2 y2 z  a 2 b2Paraboloit hyperbolic x 2 y2 z 2  2 a bHyperboloit một tầng x 2 y2 z2   1 a 2 b2 c2Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 2Bài giảng Toán cao cấp A3Hyperboloit hai tầng x 2 y2 z2    1 a 2 b2 c2Mặt trụ eliptic x 2 y2  1 a 2 b2Mặt trụ hyperbolic x 2 y2  1 a 2 b2Mặt trụ parabolic y2  2pxBành Thị Hồng – Lai Văn Phút 3Bài giảng Toán cao cấp A3Mặt nón bậc hai x 2 y2 z2   0 a 2 b2 c2Chương 1. TÍCH PHÂN BỘIBài 1. TÍCH PHÂN HAI LỚP1.1. Bài toán mở đầu – thể tích hình trụ cong Tính thể tích hình trụ giới hạn bởi: đáy là miềnD  [a,b] [c,d]  2 , mặt xung quanh song song trục Oz , phía trêngiới hạn bởi mặt S có phương trình z = f(x, y) Để tính thể tích V của khối trụ, ta chia đáy D thành nphần nhỏ không dẫm lên nhau: D1 , D2 ,..., Dn có diện tích lần lượtlà SD , SD ,..., SD . 1 2 n Trong mỗi Di ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý. Khi đó, khối trụđược chia thành n khối trụ nhỏ, gọi tên và thể tích lần lượt là Vicó đáy Di và chiều cao là f (M i ) Suy ra thể tích V của khối trụ xấp xỉ bằng n n  Vi   f (Mi )SDi  Vn i 1 i 1 Gọi d i là đường kính của Di và đặt d  maxd i là đường kínhcủa phép chia. Nếu ta chia miền D càng mịn, nghĩa là khi n  Bành Thị Hồng – Lai Văn Phút 4Bài giảng Toán cao cấp A3sao cho d  0 thì Vn càng gần với V . Vậy ta có n V  lim Vn  lim  f (Mi )SDi n  d 0 i 11.2. Định nghĩa và các tính chất của tích phân hai lớp1.2.1. Định nghĩa Cho hàm số f (x, y) xác định trên miền D đóng và bị chặn trong mặt phẳng Oxy .Ta chia miền D (còn gọi là phân hoạch miền D ) một cách tùy ý thành n phần khôngdẫm lên nhau: D1 , D2 ,..., Dn có diện tích lần lượt là SD , SD ,..., SD . Trong mỗi Di ta chọn 1 2 n nđiểm tùy ý M i (x i , yi ) và gọi I n   f (Mi )SD là tổng tích phân của hàm số f (x, y) trên i i 1miền D ứng với phân hoạch miền D và cách chọn điểm M i như trên. Gọi d ...