Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 - Nguyễn Quốc Tiến

Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 trình bày các nội dung trong phép tính vi phân hàm nhiều biến. Nội dung cụ thể chương 1 gồm có: Hàm nhiều biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, cực trị của hàm hai biến và bài tập cuối chương. Mời bạn đọc tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 1 - Nguyễn Quốc Tiến NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3 2 2 2 x y z 2  2  2 1 a b c THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011 1 CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩa Một qui luật f đặt tương ứng mỗi cặp số thực ( x, y )  D  D, D  R với một và chỉ một phần tử z  R thì ta nói f là hàm hai biến số trên D  D . Ký hiệu f : D  D  R hay z  f ( x, y ) . Ví dụ: Các hàm z  xy, t  x 2  y 2  1 Đối với hàm ba biến thì ta có định nghĩa tương tự, khi đó ta có: u  f ( x, y, z ) . Chẳng hạn u  1  x 2  y 2  z 2 , u  x  y 2  z , ... Tập hợp các cặp ( x, y ) mà ứng với chúng có thể xác định được giá trị của z được gọi là miền xác định của hàm hai biến z  f ( x, y ) , ký hiệu là D( f ) . Ví dụ: 1 Miền xác định của hàm z  là x 2  y 2  4 . Vậy D( f ) gồm các điểm 2 2 1 x  y nằm trong vòng tròn tâm là gốc toạ độ và bán kính bằng 2. Miền xác định của hàm z  sin( x  y) là R 2 1.1.2 Giới hạn của hàm hai biến Số L được gọi là giới hạn của hàm z  f ( x, y ) khi điểm M ( x, y) tiến đến điểm M 0 ( x0 , y0 ) nếu với mọi   0 bé tuỳ ý cho trước có thể tìm được   0 sao cho khi 0  M 0 M   thì f ( x, y )  A   . Ký hiệu lim f ( x, y)  A hay lim f ( x, y )  A M M 0 x  x0 y  y0 Giới hạn của hàm hai biến còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của dãy như sau: Cho hàm số f ( M )  f ( x, y ) xác định trong miền D chứa điểm M 0 ( x0 , y0 ) có thể trừ điểm M 0 . Ta nói rằng L là giới hạn của f ( x, y ) khi điểm M ( x, y ) dần tới điểm M 0 ( x0 , y0 ) nếu với mọi dãy M n ( xn , yn ) thuộc D dần tới M 0 ta đều có lim f ( xn , yn )  L . n Ký hiệu lim f ( x, y)  L hay lim f ( M )  L ( x , y ) ( x0 , y0 ) M M 0 xy Ví dụ: Tính lim f ( x, y ) với f ( x, y)  ( x , y )  (0,0) x  y2 2 2 x Ta có f ( x, y )  . y  y , ( x, y )  (0, 0) , do đó  ( xn , yn )  (0, 0) ta đều có x2  y2 lim f ( xn , yn )  0 = 0. ( xn , y n )  (0,0) xy Ví dụ: Chứng minh lim không tồn tại. x 0 y 0 x  y2 2 x2 1 2x2 2 Cho y  x ta có L  lim 2 2  , nhưng cho y  2 x thì L  lim 2  . Vậy x 0 x x 2 x0 x  4 x 2 5 y 0 y 0 khi ( x, y ) tiến về (0, 0) theo các hướng khác nhau thì f ( x, y ) có những giới hạn khác nhau. xy Do đó lim 2 không tồn tại. x 0 x  y 2 y 0 1.1.3 Tính liên tục của hàm hai biến. Giả sử M 0 ( x0 , y0 )  D( f ) . Hàm z  f ( x, y ) được gọi là hàm liên tục tại điểm M0 nếu lim f ( x, y )  f ( x0 , y0 ) . x  x0 y  y0 Hàm số liên tục tại mọi điểm của một miền nào đó gọi là hàm liên tục trong miền đó. Điểm mà tại đó hàm số không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số Ví dụ: Hàm số f ( x, y)  x 2  y 2 liên tục tại mọi điểm của R 2  xy  , ( x, y )  (0, 0) Hàm số f ( x, y)   x 2  y 2 ...