Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến

Trong hầu hết các bài toán của thực tế, đối tượng nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng toán II: Giải tích nhiều biến BÀI GIẢNG TOÁN II : GIẢI TÍCH NHIỀU BIẾN PGS . TS . NGUYỄN HỮU BẢO Trưởng Bộ môn Toán học, phó trưởng Khoa C N T T Trường ĐẠI HỌC THUỶ LỢI Trong hầu hết các bài toán của thực tế , đối tượng nghiên cứu thường là các hàm nhiều biến số chứ không chỉ là các hàm một biến như đã được học trong môn TOÁN I .Trong môn học TOÁN II này , chúng ta sẽ nghiên cứu các hàm nhiều biến và đặc biệt là hàm 2 biến để đơn giản cho cách trình bày mà vẫn không giảm tổng quát khi mở rộng cho nhiều hơn 2 biến. Các khái niệm khả vi , liên tục , khả tích … đều có khác hàm 1 biến và đặc biệt là các tích phân 2 hoặc 3 lớp , tích phân đường , tích phân mặt …là các khái niệm hoàn toàn mới so với các kiến thức được học ở trường phổ thông . Các bài toán cực trị hàm nhiều biến cùng với các vấn đề của lý thuyết trường sẽ là các kiến tức cốt lõi cho một kỹ sư trong tương lai Tuần 1 Chương 1 : KHÔNG GIAN 3 CHIỀU VÀ HÀM 3 BIẾN Hệ toạ độ trong không gian 3 chiều : Không gian R3 đã được học ở chương trình phổ thông . Ký hiệu P=( x,y,z ) để chỉ một điểm P có toạ độ ( x,y,z ) trong không gian này . Hệ 3uuu tơ trực véc r chuẩn i,j,k là một cơ sở đã biết ở phổ thông . Khi đó , véc tơ R= OP sẽ viết dưới dạng: R = x.i + y.j +z.k Các khái niệm tích vô hướng , tích hữu hướng , khoảng cách , độ dài … đều như ở phổ thông đã được học Ví dụ 1 :Tìm cosin của góc θ giữa A( 1, 2, 2 ) và B(-3, 4, 0 ) Giải : Ta có |A| = 1 + 4 + 4 = 3 , |B| = 5 , A.B = -3+8+0 = 5 do đó A.B cos θ = | A |.| B | = 1/3 Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác có uuu là P ( 2,-1,3 ) , Q (1,2,4 ) , R (3,1,1 ) đỉnh r uuur Giải: Hai cạnh của tam giac là A= PQ = -i +3j +k , B = PR = i + 2j – 2k Vì vậy , diện tích của tam giác là độ lớn của véc tơ : A ×B = i j k -1 3 1 = -8i – j – 5k 1 2 −2 tức là = 64 + 1 + 25 = 3 10 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG R 3 Đường thẳng đi qua điểm P0 = ( x0 ,y0 ,z0 ) có 2 dạng : Dạng tham số : x = x0 + at , y = y0 + bt , z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 Dạng Đề các : = = a b c Mặt phẳng đi qua điểm P0 với véc tơ pháp tuyến N = ai + bj + ck có dạng : a(x- x0 ) + b(y- y0) + c( z – z0 ) = 0 CÁC MẶT TRỤ VÀ MẶT BẬC 2 TRONG R3 Mặt trụ tròn xoay : Dạng tổng quát F (x,y) = 0 x2 y2 Mặt trụ elliptic tròn xoay có trục oz : 2 + 2 = 1 , a b Mặt trụ Parabolic tròn xoay có trục oz : z = ax2 + bx + c Mặt nón tròn xoay có trục oz : f ( ± x 2 + y 2 ,z ) = 0 x2 y 2 z 2 Mặt ellípoid : 2 + 2 + 2 = 1 a b c x2 y2 z 2 Mặt nón elliptic : 2 + 2 = 2 a b c Mặt elliptic parabolid : z = ax2 + by2 Và nhiều mặt cong khác , xem trong giáo trình Hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu trong R3 1.Hệ toạ độ trụ : Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau : x = rcos θ , y = rsin θ , z = z , trong đó r = x2 + y2 , tan θ = y / x Ví dụ 1 : Tìm toạ độ trụ của điểm P = ( 3, 3, 7 ) trong R3 Giải: Ta có r = 9 + 9 = 2 3 , tan θ = 1 , z = 7 nên toạ độ trụ của P là ( 2 3 ,2, 5 ) Ví dụ 2 : V ẽ măt cong cho theo toạ độ trụ r( 2cos θ +5sin θ ) +3z = 0 Giải: V ì x = rcos θ và y = rsin θ nên ta có phương trình của mặt cong nói trên trong R3 là 2x + 5y + 3z = 0 , đó là một mặt phẳng đi qua gốc toạ độ và có vec tơ pháp tuyến là ( 2, 5, 3 ) Hệ tọa độ cầu: Mối liên hệ với toạ độ Đề các trong R3 như sau : x = ρ sin ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ sin θ , z = ρ cos ϕ , x2 + y 2 trong đó ρ = x + y + z , tan θ = y / x , tan ϕ = 2 2 2 2 z Ví dụ : Tìm phương trình trong tọa độ cầu của hình cầu x2 + y2 + z2 - 2az = 0 ( a>0) Giải: Vì ρ 2 = x2 + y2 + z2 và z = ρ cos ϕ nên phương trình mặt cầu có dạng : ρ 2 - 2a ρ cos ϕ =0 ⇔ ρ ( ρ -2acos ϕ ) = 0 tức là ρ =0 hoặc ρ -2acos ϕ = 0 . Nhưng ρ =0 chỉ là trường hợp riêng của ρ -2acos ϕ = 0 nên ta có thể kết luận là phương trình cần tìm là ρ -2acos ϕ = 0 Chú ý : Đây chính là phương trình của một mặt cầu có bán kính a , tiếp xúc với mặt phẳng xoy tại gốc tọa độ Tuần 2 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 1. Hàm n biến y = f( x1,x2, …xn ) : là một ánh xạ từ không gi ...