Bài giảng Toán kinh tế: Chương 5 - Nguyễn Ngọc Lam

Mục tiêu chính của chương 5 Hàm nhiều biến nằm trong bài giảng toán kinh tế nhằm trình bày về các nội dung chính như sau: khái niệm hàm nhiều biến, giới hạn và tính liên tục của hàm số, đạo hàm riêng, đạo hàm riêng cấp cao.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 5 - Nguyễn Ngọc Lam C5. HÀM NHIỀU BIẾN1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢNKhông gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắpxếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… x n) (xi  R, i = 1,.. n) đượcgọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiềuđược ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… x n): xi  R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. 118 C5. HÀM NHIỀU BIẾNKhoảng cách 2 điểm:x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn)  Rn: n d( x , y )   ( x i  yi ) 2 i1Lân cận: Cho x0Rn và số r > 0. Tập S(x0, r) = {x  Rn: 0 < d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0. 119 C5. HÀM NHIỀU BIẾNĐiểm trong: Điểm x0Rn được gọi là điểm trong của D Rn nếu D chứa một lân cận của x0.Điểm biên: Điểm x0  Rn được gọi là điểm biên của D Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x,y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọilà biên của D.Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 120 C5. HÀM NHIỀU BIẾNHàm 2 biến: D  R2, một ánh xạ f: D  R, được gọi làhàm số 2 biến. Ký hiệu: f : ( x , y )  z  f ( x , y )• D: miền xác định• f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 2 2 z  1x y z = ln(x + y -1)Hàm n biến: D  Rn, một ánh xạ f: D  R được gọi làhàm số n biến. Ký hiệu: f : ( x 1 , x 2 ,... x n )  z  f ( x 1, x 2 ,... x n ) 121 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐGiới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cậnM 0(x0,y0), có thể không xác định tại M 0. Số thực L đượcgọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0(x0,y0), nếu:  > 0,  > 0: d(M,M 0) <  => f(M) – L <  d(M, M 0 )  (x - x 0 )2  (y - y 0 )2 lim f (M )  L lim f (x , y)  L lim f (x , y)  LMM0 ( x ,y )  ( x 0 , y 0 ) x  x0 y  y0 122 C5. HÀM NHIỀU BIẾN• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự nhưđối với hàm số một biến.• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối vớihàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. 2 2 xy sin( x  y ) limVí dụ: lim ( x ,y )  ( 0 ,0 ) x 2  y2 ( x ,y )  ( 0 ,0 ) x2  y2 123 C5. HÀM NHIỀU BIẾNLiên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu lim f (x , y)  f ( x 0 , y0 ) ( x ,y )  ( x 0 , y 0 )Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặntrên D  R2 thì:• Tồn tại số A>0: |f(x,y)| ≤ A• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên DTương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục củahàm số đối với hàm n biến (n≥3) 124 C5. HÀM NHIỀU BIẾN 3. ĐẠO HÀM RIÊNGĐịnh nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D,M 0(x0,y0)  D. Nếu cho y = y0 là hằng số, hàm số mộtbiến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàmriêng của f đối với x tại M 0. Ký hiệu: f z fx ( x 0 , y 0 ), ( x 0 , y 0 ), (x 0 , y0 ) x xĐặt  xf = f(x0 + x, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M 0.  xf fx  lim x 0 x 125 C5. HÀM NHIỀU BIẾNTương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của ftheo biến y.  yf fy  lim  y 0  yTương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biếnsố (n3).Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: z  x 4  5 x 3 y2  2 y 4 u  xy 126 C5. HÀM NHIỀU BIẾNĐạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàmriêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Cácđạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại đượcgọi là đạo hàm riêng cấp 2. 2 2   f   f   f   f     fxx ( x , y )     fyx ( x , y ) x  x   x 2  y   x   y x   f   2f   f   2f    fxy ( x , y )    fyy ( x , y ) x  y   x y  y   y  yyTương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… 127 C5. HÀM NHIỀU BIẾNĐịnh lý (Schwartz): Nếu trong lân cận nào đó của M 0hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0thì fxy = fyx tại M 0. Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấpcao hơn của n biến số (n3) 128 C5. HÀM NHIỀU BIẾNĐạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) có các đạohàm riêng theo u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) cócác đạo hàm riêng theo x,y thì:  z f u f v z f u f v      x  ...