Bài giảng Toán kinh tế: Chương 7 - Nguyễn Ngọc Lam

Nội dung cơ bản của chương 7 Phương trình vi phân nằm trong bài giảng toán kinh tế nhằm trình bày về các nội dung chính như sau: định nghĩa phương trình vi phân, cấp của phương trình, nghiệm tổng quát, phương trình vi phân cấp 1.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán kinh tế: Chương 7 - Nguyễn Ngọc Lam C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM:Định nghĩa: Phương trình vi phân có dạng: F(x,y,y(1),y(2),…,y (n)) = 0Trong đó : x là biến độc lập, y làm hàm số của x, y(n) là đạo hàm cấp n của y theo x.Nếu ta đưa được : y(n) = f(x,y,y(1),y(2),…,y (n-1)) thì phươngtrình được gọi là dạng giải được đối với đạo hàm cấpcao nhất. 169 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNCấp của phương trình :Đạo hàm cấp cao nhất của đạo hàm hàm số y = f(x) cótrong phương trình vi phân được gọi là cấp của phươngtrình vi phân.Nghiệm PT vi phân cấp 1 phụ thuộc một tham số : y = y(x,C), C  RNghiệm PT vi phân cấp 2 phụ thuộc hai tham số : y = y(x,C1,C2), C1,C2  RNghiệm PT vi phân cấp n phụ thuộc n tham số : y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  R 170 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNNghiệm tổng quát : Nghiệm của phương trình có dạng : y = y(x,C1,C2,…Cn), C1,C2,…Cn  Rđược gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.Nghiệm riêng : Khi cho các tham số Ci bởi giá trị cụ thểthì ta được nghiệm gọi là nghiệm riêng của phươngtrình vi phân.Nghiệm kỳ dị : Là nghiệm riêng của phương trình viphân không được suy ra từ nghiệm tổng quát được gọilà nghiệm kỳ dị. 171 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1:Dạng tổng quát : F(x,y,y’) = 0Nếu giải được đối với y’, phương trình vi phân có dạng : y = f(x,y)Định lý tồn tại duy nhất nghiệm : Cho phương trình vi phân cấp 1 y’ = f(x,y). Nếuf(x,y) liên tục trong miền chứa (x0,y0) thì tồn tại ít nhấtmột nghiệm y = y(x) thỏa mãn điều kiện y(x0) = y0. Nếuf(x,y) cũng liên tục thì nghiệm đó là duy nhất. Bài toán tìm nghiệm thỏa điều kiện ban đầu ngườita gọi là bài toán Cauchy. 172 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPhương trình vi phân không chứa hàm phải tìm: F(x,y’) = 0Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng : y = f(x)Tích phân hai vế.Ví dụ : Tìm nghiệm phương trình y’ = 3x2 + 2x + 1 thỏađiều kiện y(1) = 1.Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng : x = f(y’) Đặt y’ = t => x = f(t) => dx = f’(t)dt => dy = tdx = tf’(t)dtVí dụ : Giải phương trình x = y’3 + y’2 + 5 173 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPhương trình không chứa biến độc lập: F(y,y’) = 0Trường hợp 1: Ta có thể chuyển về dạng y’ = f(y) dy dy  f ( y)  dx  , f(y)  0 dx f ( y)Ví dụ : Giải phương trình y’ = 1 + y2Trường hợp 2 : Ta có thể chuyển về dạng :y = f(y’)Đặt y’ = t => y = f(t) => dy = f’(t)dt = tdx dy f ( t)dt f ( t)dty  t   t  dy  tdx dx   x   dx t tVí dụ : Giải phương trình y = y’3 + y’2 + 1 174 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNTrường hợp 3 : Ta có thể chuyển về dạng : y = y(t)=> dy = f’(t)dt dy y  g(t)   g( t) dx f (t )dt dx  g( t)Ví dụ : Giải phương trình : y2 + y’2 = 1 175 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPhương trình vi phân có dạng : dy/dx = f(ax + by)Đặt z = ax + by, ta đưa về dạng phương trình khôngchứa biến độc lập. dz dz  a  bf (z)  dx  dx a  bf ( z)Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình : dy  x 2  2xy  y2 dx 176 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPhương trình với biến phân ly: Dạng tổng quát : f(x)dx + g(y)dy = 0Ví dụ : Giải phương trình : xdx = (y + 1)dy  yPhương trình thuần nhất : y  f    x y dy xdz z   y  xz   z x dx dxdy dz xdz  zx  f (z)   f (z )  zdx dx dx x2  y2Ví dụ : Giải phương trình y  2 xy 177 C7. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNPhương trình vi phân tuyến tính: y’ + p(x)y = q(x)Giải phương trình: y’ + p(x)y = 0- Nếu y ≠ 0 : y  p( x )dx  p(x )  ln y    p( x )dx  C0  y  eC0 e  y  p( x )dx  y   C1e  , (C1  0)- y = 0: là nghiệm của phư ...