Bài giảng Toán rời rạc: Hàm sinh - Trần Vĩnh Đức

Bài giảng Toán rời rạc: Hàm sinh cung cấp cho người học những nội dung kiến thức như: Đếm và đa thức, định nghĩa hàm sinh, các phép toán trên hàm sinh, một bài toán đếm. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán rời rạc: Hàm sinh - Trần Vĩnh Đức Hàm sinh Trần Vĩnh Đức HUST Ngày 26 tháng 4 năm 2016CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 1 / 51 Nội dung Đếm và đa thức Định nghĩa hàm sinh Các phép toán trên hàm sinh Một bài toán đếmCuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ký hiệu hình thức ▶ Có 2 quả táo, 3 quả mận, và 4 quả đào. ▶ Ta ký hiệu T := “lấy một quả táo” M := “lấy một quả mận” D := “lấy một quả đào”. ▶ Lấy 1 quả táo, 2 quả mận, và 3 quả đào: TMMDDD = TM2 D3 . ▶ Lấy 1 quả táo, 1 quả mận, và 1 quả đào hoặc lấy 1 quả táo, 1 quả đào, và 2 quả mận”: TMD + TMD2 .CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 3 / 51 Câu hỏi Xâu sau đây biểu diễn những lựa chọn gì? TMD + TMD2 + TM2 D + T2 MD + TM2 D2 + · · · + T2 M3 D4 = (T + T2 )(M + M2 + M3 )(D + D2 + D3 + D4 ). Lời giải Đây như một chuỗi hình thức mô tả mọi khả năng chọn trong số 2 quả táo, 3 quả mận, và 4 quả đào, mỗi loại ít nhất một quả.CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 4 / 51 Bài tập Có bao nhiêu cách chọn 6 quả trong số 2 quả táo, 3 quả mận, và 4 quả đào, mỗi loại ít nhất một quả? Lời giải ▶ Ta chỉ cần thay thế mỗi T, M, D bằng biến hình thức x trong chuỗi (T + T2 )(M + M2 + M3 )(D + D2 + D3 + D4 ). ▶ Vậy mọi số hạng có số mũ 6 ứng với số lần x6 xuất hiện. ▶ Hệ số của x6 chính là số cách chọn 6 quả.CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5 / 51 Đa thức và đếm ▶ Khi thay thế T, M, D bằng x thì hệ số của xk chính là số cách chọn đúng k quả. ▶ Ta có (x + x2 )(x + x2 + x3 )(x + x2 + x3 + x4 ) = x3 (1 + x)(1 + x + x2 )(1 + x + x2 + x3 ) = x3 (1 + 2x + 2x2 + x3 )(1 + x + x2 + x3 ) = x3 + 3x4 + 5x5 + 6x6 + 5x7 + 3x8 + x9 . ▶ Vậy có 6 cách lựa chọn 6 quả, 5 cách chọn 7 quả . . . .CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 6 / 51 Câu hỏi ▶ Giả sử một quả mận có 20 calo, một quả đào có 40 calo, và một quả táo có 60 calo. ▶ Nếu ta thay thế T → x60 , M → x40 D → x20 trong chuỗi hình thức (T + T2 )(M + M2 + M3 )(D + D2 + D3 + D4 ). thì hệ số của xn là gì?CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 7 / 51 Lời giải ▶ Ta thay thế T → x60 , M → x40 D → x20 ▶ Vậy thì hệ số của xn của đa thức là số cách chọn quả để có n calo. ▶ Vì khi chọn Ti Mj Dk ta được 60i + 40j + 20k calo.CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 8 / 51 Ví dụ ▶ Từ đa thức (x60 + x120 )(x40 + x80 + x120 )(x20 + x40 + x60 + x80 ) = x120 (1 + x20 + 2x40 + 3x60 + 3x80 + 4x100 + 3x120 + 3x140 + 2x160 + x180 + x200 ) = x120 + x140 + 2x160 + 3x180 + 3x200 + 4x220 + 3x240 + 3x260 + 2x280 + x300 + x320 ▶ Ta thấy có 3 cách chọn quả để có 200 calo.CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 9 / 51 Bài tập ▶ Biết rằng quả táo giá 60 đồng, quả mận giá 40 đồng, và đào giá 20 đồng. ▶ Có bao nhiêu cách chọn các quả giá 200 đồng, có thể có loại quả không được chọn?CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 10 / 51 Bài tập Hãy tìm đa thức có hệ số xk là số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1 + x2 + x3 = k.CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 11 / 51 Câu hỏi Ta có thể dùng kỹ thuật mô tả ở phần trước để lựa chọn các quả táo, đào và mận nhưng không hạn chế bao nhiêu quả cần lấy. T0 M0 D0 + TM0 D0 + · · · + TMD + TMD2 + · · · ...