Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 6 - TS. Lê Minh Hiếu

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 6 Tích phân hàm một biến, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: tích phân bất định; tích phân xác định; tích phân suy rộng; ứng dụng tích phân trong kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 6 - TS. Lê Minh Hiếu TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MÔN KINH TẾ HỌC TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 6: Tích phân hàm một biến TS. Lê Minh Hiếu Năm 2021 Nội dung 1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 3. TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 2 / 19 Tích phân bất định Tích phân bất định Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b). Hàm F (x) gọi là nguyên hàm của f (x) nếu F 0 (x) = f (x), x ∈ (a, b). Nếu F (x) là nguyên hàm của f (x) thì F (x) + C, C = const, cũng là nguyên hàm của f (x). Hàm F (x) được gọi là tích phân bất định của hàm f (x), kí hiệu là: Z f (x)dx = F (x) + C. Các công thức tích phân của các hàm số thường gặp: (xem trong giáo trình hoặc bài giảng) TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 3 / 19 Tích phân bất định Tích phân bất định Các phương pháp tính tích phân: 2 phương pháp cơ bản a) Phương pháp đổi biến b) Phương pháp tích phân từng phần Z Z udv = uv − vdu. Ví dụ 1.1 Tính các tích phân sau: a) ln xdx Z I= √ x 1 + ln x b) Z I= cos(ln x)dx TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 4 / 19 Tích phân bất định a) ln xdx Z I= √ x 1 + ln x Giải. Đặt √ t= 1 + ln x ⇒ t2 = 1 + ln x ⇒ 2tdt = dx/x Ta có: t2 − 1 tdt Z
  Z I=2 =2 t2 − 1 dt t 2 2 q √ = t3 − 2t + c = (1 + ln x)3 − 2 1 + ln x + c 3 3 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 5 / 19 Tích phân bất định b) Z I= cos(ln x)dx Giải. Đặt ( x) u = cos(ln x) ⇒ du = − sin(ln x dx dv = dx ⇒ v = x R Suy ra: I = x cos(ln x) + sin(ln x)dx = x cos(ln x) + I1 Để tính I1 , ta lại đặt: ( cos(ln x) u = sin(ln x) ⇒ du = x dx dv = dx ⇒ v = x Do đó: I1 = x sin(ln x) − I Tóm lại: 1 1 I = x cos(ln x) + x sin(ln x) − I ⇒ I = x cos(ln x) + x sin(ln x) + c 2 2 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 6 / 19 Tích phân xác định Tích phân xác định Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b]. Ta nói rằng hàm f (x) khả tích trên [a, b] nếu nó có tích phân xác định trên đoạn đó Zb I= f (x)dx. a Định lý tồn tại tích phân xác định, các tính chất của tích phân xác định: (xem trong giáo trình) Các phương pháp tính: phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần Ví dụ 2.1 π/2 Rπ 2 R dx a) I= 2 cos x+3 b) I= x cos 2xdx 0 0 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG Năm 2021 7 / 19 Tích phân xác định π/2 R dx a) I= 2 cos x+3 0 Giải. Đặt x 2dt t = tan ⇒ x = 2 arctan t ⇒ dx = 2 1 + t2 1 − t2 2t cos x = 2 , sin x = 1+t 1 + t2 π x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1 2 Suy ra: Z1 dt dx 1 x  Z  I=2 2 = áp dụng: 2 2 = arctan + c = t +5 a +x a a 0 x 1 2 2 1 = √ arctan √ = √ arctan √ 5 ...