Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 8 - TS. Lê Minh Hiếu

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 8 Phương trình sai phân, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: một số khái niệm; phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (ôtônôm); phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát; phương trình sai phân tuyến tính cấp 2. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế: Chương 8 - TS. Lê Minh Hiếu TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA KINH TẾ - BỘ MÔN KINH TẾ HỌC TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương 8: Phương trình sai phân TS. Lê Minh Hiếu Năm 2021 Nội dung 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM 2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG (ÔTÔNÔM) 3. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 TỔNG QUÁT 4. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 4.1 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất 4.2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng KHÔNG thuần nhất 4.3 Phương trình phi ôtônôm hệ số hằng TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 2 / 16 Một số khái niệm 1. Một số khái niệm Cho hàm số yn = f (n), n ∈ N hay n ∈ N ∗ . Hiệu số yn+1 − yn = f (n + 1) − f (n) gọi là sai phân cấp 1 của hàm số yn . Kí hiệu: ∆yn = yn+1 − yn ; Sai phân của sai phân cấp 1 gọi là sai phân cấp 2 của hàm số yn . Kí hiệu là ∆2 yn : ∆2 yn = ∆(∆yn ) = ∆yn+1 − ∆yn = yn+2 − 2yn+1 + yn ; Phương trình sai phân cấp 1 có dạng: (a) Φ (n, yn , yn+1 ) = 0, Phương trình sai phân cấp 2 có dạng: (b) Φ (n, yn , yn+1 , yn+2 ) = 0, Nghiệm của phương trình sai phân là hàm số có dạng yn = ϕ(n) sao cho nó thỏa mãn phương trình (a) hoặc (b). TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 3 / 16 Một số khái niệm Khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng; nghiệm riêng được xác định khi cho điều kiện đầu; Phương trình sai phân ôtônôm là phương trình không chứa biến n; Giải phương trình: yn+1 = yn + 5 Đặt y0 = C, C là hằng số bất kỳ; Sử dụng phương pháp lặp: y1 = y0 + 5 = C + 5, y2 = y1 + 5 = C + 2 × 5, y3 = y2 + 5 = C + 3 × 5, ... Nghiệm tổng quát là: yn = 5n + C Nếu cho điều kiện đầu thì có thể xác định được hằng số C. TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 4 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (Ôtônôm) 2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng (Ôtônôm) Dạng: yn+1 + pyn = q, p, q = const, Nếu q = 0 thì gọi là phương trình thuần nhất; Nếu q , 0 thì gọi là phương trình không thuần nhất; Phương trình thuần nhất: Chọn y0 = C, C = const yn = C (−p)n Phương trình không thuần nhất: TH p = −1: yn = C + qn, q TH p , −1: yn = + C (−p)n . 1+p TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 5 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát 3. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 tổng quát Dạng: yn+1 + pn yn = qn , trong đó, pn và qn là các hàm số với biến rời rạc n = 0, 1, 2, ... Nghiệm tổng quát: n−1 n−1 qk n−1 ! Y X Y yn = y0 bk + bi , k=0 k=0 bk i=k trong đó: bn = −pn . TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 6 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất 4. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 4.1. Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất Dạng: yn+2 + pyn+1 + qyn = 0, trong đó, p và q là các hằng số. Phương trình đặc trưng: k 2 + pk + q = 0, (1) - TH1: phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt k1 , k2 yn = C1 k1n + C2 k2n , C1 , C2 = const, p - TH2: phương trình (1) có nghiệm kép k1 = k2 = − 2 n p  yn = (C1 n + C2 ) − , 2 TS. Lê Minh Hiếu TOÁN ỨNG DỤNG - Chương 8 Năm 2021 7 / 16 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 Phương trình ôtônôm hệ số hằng thuần nhất - TH3: phương trình đặc trưng (1) có 2 nghiệm phức liên hợp k1,2 = α ± βi Nghiệm tổng quát có dạng: yn = rn (C1 sin θn + C2 cos θn) , C1 , C2 = const, trong đó: q α r= α2 + β 2 , cot θ = . β Ví dụ 4.1 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sai phân sau: a) yn+2 + 4yn+1 + 3yn = 0, b) yn+2 − 6yn+1 + 9yn = 0, c) yn+2 − 2yn+1 + 4yn = 0. TS. Lê Minh ...