Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 4 - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Bài giảng "Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí - Chương 4: Tối ưu hàm nhiều biến số với ràng buộc đẳng thức - Phương pháp cổ điển" cung cấp cho người học các kiến thức: Phát biểu bài toán tổng quát, phương pháp thế trực tiếp, vi phân bậc r của hàm f,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Tối ưu hóa trong thiết kế cơ khí: Chương 4 - ĐH Công nghiệp TP.HCM Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh Khoa Công nghệ Cơ khí CHƯƠNG 04:TỐI ƯU HÀM NHIỀU BIẾN SỐVỚI RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC: PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN Thời lượng: 3 tiết 2Tối ưu hàm nhiều biến với ràng buộc đẳng thức Tìm cực tiểu (Minimum) của hàm nhiều biến sau: f x Với các điều kiện ràng buộc đẳng thức: g j x  0 j  1, 2, ,m x   x1 xn  T Với: x2 Điều kiện: m ≤ n  Nếu m > n bài toán sẽ không có lời giải. Có 3 phương pháp giải: 1. Phương pháp thế trực tiếp (direct substitution) 2. Phương pháp biến đổi ràng buộc (constrained variation) 3. Phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange multipliers) 3 Phương pháp thế trực tiếpTừ m ràng buộc đẳng thức, ta biến đổi và thu được các biểu thứctính m biến số thông qua (n-m) biến số còn lại (trong số n biến sốtất cả). Từ đó thế vào biểu thức hàm f ban đầu. Như vậy hàm f sẽtrở thành hàm có (n-m) biến số nhưng không còn ràng buộc nàohết. Ta quay trở về bài toán tối ưu không ràng buộc. x   x1 xn  T x2 xn  m xn  m 1 xn  m  2 (n-m) tham biến cơ sở m tham biến cần triệt tiêu trong f  xn  m 1  h1  x1 , x2 , , xn  m    g j  x   0  xn  m  2  h2  x1 , x2 , , xn  m  Từ:    j  1..m  x  h  x , x , , x   n m 1 2 nm  f  x   f  x1 , x2 , , xn  m   min Hàm (n-m) biến số 4 Phương pháp thế trực tiếp Tối ưu hàm số sau: f  x1 , x2 , x3   8 x1 x2 x3 n3 Với ràng buộc: x12  x22  x32  1 m 1Tìm biểu thức liên hệ của 1 tham biến vào 2 tham biến còn lại: x12  x22  x32  1  x3  1  x12  x22Thế vào hàm f ban đầu: Tối ưu hàm 2 biếnf  x1 , x2 , x3   f  x1 , x2   8 x1 x2 1  x  x 2 1 2 2 không ràng buộc Giải hệ phương trình Gradient = 0:  8 x2  2 x12  x22  1  5  f      x        2 1  0 2 2 2 2 1 x x  1 2 x x f  x      0 2 1 1 2  f   8 x1  x1  2 x2  1  2 2  x1  2 x2  1  0 2  x      2 1  x1  x2  2 2    1  1  x1  x2   x3   Điểm dừng 3 3 Tính ma trận Hessian tại điểm dừng:  8 x x  2 x  3x  3 2 2 8  2 x14  3 x12 x22  2 x24  3 x12  3 x22  1    f  f    2 2 1 2 1 2  x   1  x  x  1  x1  x2  3 3  2 x x 2 2 2 2 2 2 ...