Bài tập đại số tuyến tính: Phần 2

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Đại số tuyến tính qua các ví dụ & bài tập" tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn; Không gian thương và các định lí đồng cấu; Hệ phương trình tuyến tính; Cấu trúc tập nghiệm; Toán tử tuyến tính; Không gian Ơclit và không gian unita; Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập đại số tuyến tính: Phần 2C h ư ơ n g 4A n h x ạ t u y ề n t í n h v à m atrận biêu diên13 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tínhCho u, V là hai không gian véc tơ trên cùng trường K. Để kiểm tra xemmột, ánh xạ ip : u — V có là á n h xạ tuyến tính hay không, ta kiểm tra xem >nó có bảo t o à n hai p h é p t o á n hay không theo định nghĩa sau đây:Định nghĩa 13.1 Ta gọi ip : u —> V là ánh xạ tuyến tính, nếu nó thỏamãn một trong hai điều kiện tương đương sau đây(i) íp(u + v) = ip(u) + (f(v), và 84 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn (b) M ộ t cách tổng quát. nếu u c V, thì ánh x ạ jf ; ũ —•* V xác định bởi j(u) = u với mọi ụ e u là một ánh xạ tuyến tính và đước gọi l ả ánh xạ nhúng.(c) Ánh xạ 0 : (7 -» V biến mọi véc tơ của u thành véc tơ 0 của V là một ánh xạ tuyến tính, đước gọi là ánh xạ không và cũng đước kí hiệu là 0.(d) Ánh xạ p : K —k K , (n > ro) xác định bởi n mp{ai,...,a ) = (ai, ...,a ) n mlà ánh xạ tuyến tính và đước gọi là phép chiếu. Đây chính là mở rộng của phép chiếu t ừ mặt phang lên trục tọa độ t h ứ nhất, hay phép chiếu trong không gian (ba chiều) lên mặt phang hay trục tọa độ. Tổng quát hơn, các ánh xạ Pi : Ư X V u vã P2 : u X V -* V xác định bởi Pl{u,v)=u, p (u,v)=v 2 là các á n h xạ tuyến tính và đước gọi là các phép chiếu (lên u hay V).(e) Phép liên hớp c —> C; z H-> z là một ánh xạ tuyến tính nếu xét c là không gian véc tơ trên R, vì nếu 21 = ai + bi và 22 = 0,2 + ai, Ũ2, bi, ỉ>2 £ K i thì với mọi Oi, p € Ha2i+/?2:2 = (aai + Pa ) + (abi + ị3h)i 2 = oai + ^ a - (abi + /3ò )i 2 2 = ázĩ + /?22 •Tuy nhiên nó không phải là ánh xạ tuyến tính nếu xét c là không gian véc tơ trên c , vì ị •Ị = —i Ỷ ì — ĩ l ) tức là nó không bảo toàn phép nhân vô hướng (mặc d ù nó bảo toàn p h é p cộng).Một cách khác cũng hay đước sử dụng là dựa vào tính chất hớp của haiánh xạ tuyến tính l ạ i là á n h xạ tuyến tính. C ụ t h ểMệnh đề 13.2 Cho ự, V, w là các không gian véc tơ trên K, ip : u —> V và•ệ : V — w là các ánh xạ tuyến tính. Khi đỏ ánh xạ hợp thành -ệíp : u —í w >cũng là ánh xạ tuyến tính.Ta củng có thể sử dụng các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính để nhậnđước một ánh x ạ mới đương nhiên là ánh xạ tuyến tính (xem B ài 13.9).Mục 15 sẽ đề cập tới các cách xác định một ánh xạ tuyến tính. Sau đây là một số tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính: ĩ3. Các tính chất cơ bản của ảnh xạ tuyến tính 85M ệ n h đ ề 13.3 Cho ự} : u ~f V lạ ánh xạ tuyến tính. Khi đó(ì) Anh của các không gian con của u là khôn!] 9^ V> nghĩa an con nia là nếu u c u là không gian con, thì 86 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính và ma trận biểu diễn (ìv) tp là đơn, ánh khi và chỉ khi ảnh của các véc tơ của một cơ sở đỉa u là khá,c nhau và độc lập tuyến tính trong V.(XÌ) ip là đẳng cấu khi và chỉ khi ảnh của các véc tơ của một cơ sở của u là khác nhau và lập thành một cơ sở của V.Từ đó suy ra chiền của ảnh ánh xạ tuyến tính không vướt quá chiềucủa không gian nguồn.Đ ị n h lí 13.6 Hai không gian véc tơ hữu hạn chiều đẳng cấu với nhau khivà chỉ khi chúng có cùng số chiều. Nói cách khác mọi không gian véc tơchiều n đều đẳng cấu với K . n Cuối cùng ta có định lí hạng ánh xạĐ ị n h lí 13.7 Cho LỌ : u — V là m,ột ánh xạ tuyến tính với dim u < »Khi đó d i m ơ = dimKer((^) + rank(t^).Bài tậpBài 13.1 a) Chứng tỏ rằng phép lấy đạo hàm là ánh xạ tuyến tính từkhông gian các hàm thực khả vi trên khoảng (ũ, b) vào không gian các hàmthực xác định trên (a,b). Hãy xác định hạch của ánh xạ này. b) Chứng tỏ rằng phép lấy tích phân J f{x)dx là ánh xạ tuyến tính từ bkhông gian các h à m thực khả tích trên đoạn [ã, b} vào E.Bài 13.2 Xét xem những ánh xạ nào dưới đây là ánh xạ tuyến tính. Trongtrường hớp đó hãy tính hạch của nó. a) / : R - M , 3 2 f(x,y,z) = (z,y).b) / : R -> R f(x, y, z) = (ì, y, z) + (0,0, 3). 3c) / : R —> R , f(v) = -V. 5 5á) /:R ^M , f(x,y) = (xy,y). 2 2e) / ...