Bài tập môn Toán rời rạc 1

Đây là một số bài tập toán rời rạc dành cho giáo viên, sinh viên đại học, cao đẳng tham khảo. Bài 1: Cho biết các hệ thức sau đúng hay sai. Bài 2: Cho 5 kí tự: A,B,C,D,E.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập môn Toán rời rạc 1 Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ? a) A ⊆ (A ∩ B) Là 1 Hệ thức Sai ! Bởi vì : Ta xét ví dụ sau : Cho 2 tập hợp A và B A={1,2} B={2,3} ⇒A∩B={2} ⇒A ⊄ A ∩ B Vậy Hệ thức A ⊆ A ∩ B là sai05/28/11 00:29 1 Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ? b) C ⊆ (A ∩ B) ∪ C : Hệ thức này Đúng Nếu A ∩ B = ∅ ⇒ (A ∩ B) ∪ C = C Nếu A ∩ B = D ⇒ (A ∩ B) ∪ C = D ∪ C ⊇ C Ta có thể điều này rõ ràng bằng biểu đồ Ven :05/28/11 00:29 2 Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ? c, A∪ B ⊆ A ∩ B : là hệ thức Sai Ta có Biểu đồ Ven sau : Ví dụ : A ={1,2}; B ={2,3} ⇒ A ∪ B ={1,2,3} và A ∩ B ={2}; ⇒Rõ ràng : A∪ B ⊆ A ∩ B là 1 Hệ thức Sai05/28/11 00:29 3 Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ? d, A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B Là 1 hệ thức Sai Bời vì : A ∩ (A ∪ B) = (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) A ∪ (A ∩ B) = = A A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B ⇔ A = A ∩ B Rõ ràng : Hệ thức A = A ∩ B : Là 1 hệ thức Sai ⇒ đpcm05/28/11 00:29 4 Bài 1 : Cho biết Hệ thức Đúng hay Sai ? e, (A ∪ B ) (A ∩ B ) = AB Hệ thức Sai ! Bởi vì : Ta xét ví dụ sau : Xét 2 tập hợp A,B : A ={1,2}; B={2,3}; A ∪ B ={1,2,3}; A ∩ B ={2}; ⇒(A ∪ B ) (A ∩ B ) ={1,3}; mà : A B ={1}: {1,3} # {1} ⇒ (A ∪ B ) (A ∩ B ) = AB là Sai !05/28/11 00:29 5 Bài 2: Z: tập số nguyên , A ⊂ Z , B ⊂ Z : A={x ∈ Z : x = 4p-1 với p ∈ Z} B={x ∈ Z : x = 4q-5 với q ∈ Z} CMR : A = B Ta phải chỉ ra rằng : x ∈ A ⇒ x ∈ B và y ∈ B ⇒ y ∈ A . Thật vậy : Lấy x ∈ A ⇒ x = 4p-1 (p ∈ Z )⇒ x + 5 = 4p + 4 =4(p+1) Đặt p+1 =q (q ∈ Z ) Ta có : x + 5 = 4q ⇒x = 4q - 5 (q ∈ Z ) ⇒ x ∈ B (1) Lấy y ∈ B ⇒ y = 4q - 5 (q ∈ Z )⇒ y + 1 = 4q - 4 =4(q-1) Đặt q-1 =p (p ∈ Z ) Ta có : x + 1 = 4p ⇒x = 4p - 1 (p ∈ Z ) ⇒ x ∈ A (2) (1)(2) ⇒ A=B (đpcm)05/28/11 00:29 6 Bài 3: Cho 2 tập A1 , A2 : A1 = {n ∈ Z: n0} A1 , A2 có phải 1 phân hoạch của Z không? có thể nhận thấy rằng : A1 + A2 = Z –{0}; Ta ⇒A1 , A2 khống phủ kín Z ⇒A1 , A2 không tạo thành 1 phân hoạch của Z Ta có phân hoạch của Z như sau :  A1 = {n ∈ Z: n Bài 4: Cho A ={0,1,2,3,4}; và xác định quan hệ R trên A bởi : R ={ (0,0),(2,1) ,(0,3) ,(1,1) ,(3,0) ,(1,4) ,(4,1) ,(2,2) ,(2,4) ,(3,3) ,(4,4) ,(1,2) , (4,2) }; R là quan hệ tương đương trên A ?Nếu đúng hãy chỉ ra lớp tương đương ? R là 1 quan hệ tương đương trên A : Ta cần chỉ ra R có 3 tính chất : • Quan hệ đối xứng •Quan hệ phản xạ •Quan hệ bắt cầu Ta nhận thấy rằng R bao gồm các phần tử đảo nhau nếu (a,b) ∈ R thì (b,a) ∈ R Ví dụ : (2,1) và (1,2) đều thuộc R ⇒Nên R hiển nhiên có quan hệ đối xứng và phản xạ05/28/11 00:29 8 Bài 4: Cho A ={0,1,2,3,4};…..(tiếp …) Ta xét đến quan hệ truyền ứng : Ta nhận thấy rằng nếu như có 2 phần tử (a,b) và (b,c) ∈ R thì (a,c) ∈ R . ⇒ R có quan hệ truyền ứng Vậy R có quan hệ tương đương trên A. Các lớp tương đương trên A : Để tìm các lớp tương đương trên A ta tìm 1 quan hệ cụ thể của R trên A ở đây xét tính chất cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3 Ta dễ dàng thấy đc với tính chất cùng chia hết cho 3 hoặc cùng không chia hết cho 3 thì A có 2 lớp tương đương sau : A1 ={0,3}; A2 ={1,2,4};05/28/11 00:29 9 Bài 5: Xét tập hợp các phần tử là các số nguyên : A0 ={… ,-10,-5,0,5,10,15,20,25,…}; A1 ={….,-9 ,-4,1,6,11,16,21,26,….}; A2 ={….,-8 ,-3,2,7,12,17,22,27,….}; A3 ={….,-7 ,-2,3,8,13,18,23,28,….}; A4 ={….,-6 ,-1,4,9,14,19,24,29,….}; a, A0 , A1 , A2 , A3 , A4 tạo thành phân hoạch của tập Z Ta cần chỉ ra : A +A +A + A + A = Z ; 0 1 2 3 4 ∩ Aj = ∅ ; A i05/28/11 00:29 tuananhhut87@yahoo.com 10 Bài 5 : (Tiếp ……) Thật vậy : Dễ dàng thấy đc A +A +A + A + A = Z ;(1) 0 1 2 3 4 ∩ Aj = ∅ ; A (2) i Vậy A0 , A1 , A2 , A3 , A4 tạo thành phân hoạch của tập Z b , Đưa ra quan hệ s tương ứng với phân hoạch : Theo bài ra ta thấy 1 điều đặc biệt là : xi ∈ Ai ⇒ xi mod 5 = i Ta có thể rút ra quan hệ phân hoạch : a và b ∈ Z gọi là có quan hệ với nhau nếu : a mod 5 = b mod 5 ...