Bài tập Phần UD hình học của tích phân kép - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài tập Phần UD hình học của tích phân kép gồm các bài tập và bài giải của phần UD hình học của tích phân kép được trình bày một cách chi tiết, rõ ràng, dễ hiểu giúp sinh viên vận dụng lý thuyết được học vào bài tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Phần UD hình học của tích phân kép - Nguyễn Thị Xuân Anh Bài tập phần UD hình học của tích phân képTính diện tích miền D giới hạn bởi1. x=y2-2y, x+y=02. y2=10x+25, y2=-6x+93. y=lnx, x=y+1, y=-14. y=4x-x2, y=2x2-5x5. y2=4-4x, x2+y2=4 (phía ngoài parabol)Giải:Nhắc lại công thức S(D ) = � dxdy � D Bài tập phần UD hình học của tích phân kép1. Ta tìm cận tích phân theo dy bằng cách khử x từ 2phương trình 2 mặt x=y2-2y=-y (1) ↔ y2-y=0 ↔ y=0, y=1Từ đó suy ra 0≤y≤1, ta lấy ngược lại phương trình 1để được tiếp cận đối với tích phân theo dx y2-2y ≤x ≤ -y 1 - y 1Vậy : S(D1) = dy 1 � �dx = ￲ 2 ( y - y )dy = 6 0 y 2- 2y 0 Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Khử x từ 2 phương trình đã cho 1 2 1 2 ( y - 25) = (9 - y ) (1) � y = � 15 10 6 Suy ra cận tích phân theo dy, tương tự như trên, ta thay vào phương trình (1) để có cận tích phân theo dxVậy : 1 (9- y 2 ) 15 6 15 1 16 15 �dy � dx = � (120 - 8 y )dy = 2S(D 2) = - 15 1 2 - 15 30 3 ( y - 25) 10 Bài tập phần UD hình học của tích phân kép3. Ta sẽ vẽ miền D3 để xác định cận tích phân 0 ey 1S(D3 ) = � � dy dx nx -1 y +1 l y= -1 1 1S(D3 ) = - 2 e4. Tìm giao điểm 2 đường giới hạn D4x-x2=2x2-5x ↔ 0=3x2-9x ↔ x=0, x=3 Suy ra : 0≤x ≤3 ↔ 0 ≤3x2-9x ↔ 4x-x2 ≤2x2-5x 3 2 x2- 5 xS(D4 ) = �dx � dy =27/2 0 4 x- x 2 Bài tập phần UD hình học của tích phân kép5. Tìm giao điểm của 2 đường đã cho4-4x=4-x2 ↔ x2-4x=0 ↔ x=0, x=4 (Loại vì y2=4-4x Bài tập phần UD hình học của tích phân képBài 1: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi 2 mặt1. V1: x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥02. V2: x2+y2+z2=4, x2+y2=2x, phần trong hình trụ3. V3: x2+y2=1, x2+z2=13a. V3a: y2+z2-x2=0, x=6-y2-z2Ta sẽ tìm hình chiếu của vật thể xuống mặt phẳngz=0 (x=0, y=0) bằng cách khử z ( khử x, khử y) từ 2phương trình 2 mặt tạo nên vật thể Bài tập phần UD hình học của tích phân kép1. z2 = 2-x2-y2=x2+y2 ↔ 1= x2+y2Như vậy, hình chiếu của V1 xuống mp z=0 là hình tròn x2+y2 ≤1 ↔ x2+y2 ≤2-x2-y2. (Làm ngược lại với pt trên)Tức là ta cũng xác định được mặt nằm trên, nằm dướitrong miền V1. Vậy : V1 = � [(2 - x 2 - y 2 ) - ( x 2 + y 2 )]dxdy � x 2 +y 2 ￲ 1Vì miền lấy tích phân là hình tròn có tâm là gốc tọa độnên ta sẽ đổi biến tp trên sang tọa độ cực bằng cáchđặt x=rcosφ, y=rsinφ 2p 1 1V1 = �j �(2 - 2r )dr = 2p(r - d r 2 3 r 4) = p 2 4 2 0 0 0 Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 10≤φ≤2π 0≤r ≤1 Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2. Trong 2 mặt đã cho có 1 mặt trụ kín nên hình chiếu chính là hình tròn x2+y2≤2x2 mặt còn lại là nửa dương và nửa âm của mặt cầu.Vì cả 2 mặt đã cho đều nhận z=0 là mặt đối xứng nênta sẽ tính thể tích nửa phía trên và nhân đôiV2 = 2 � � 4 - x 2 - y 2 dxdy x 2 +y 2 ￲ 2 xMiền lấy tp là hình tròn đi qua gốc tọa độ nên ta đổibiến bằng cách đặt x=rcosφ, y=rsinφ p 2 2cos jV2 = 2 � j d �r 2 4 - r dr -p 0 2 Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 2-π/2≤φ≤π/2 0 ≤r ≤2cos φ Bài tập phần UD hình học của tích phân kép 3. Vật thể giới hạn bởi 2 hình trụ kín nên ta có thể chọn 1 trong 2 hình trụ đó để chiếu xuống mặt z=0 hoặc y=0. Chẳng hạn, ta chọn chiếu xuống mặt z=0 để hình chiếu là hình tròn D: x2+y2≤1 Cả 2 hình trụ tạo nên V3 đều nhận cả 3 mặt tọa độ là các mặt đối xứng nên ta sẽ chỉ tính thể tích V3 phần ứng với x, y, z ≥ 0 rồi nhân với 8 Khi đó, hình chiếu chỉ còn là ¼ hình tròn với x, y ≥ 0 và giới hạn bởi 0 ￲ z ￲ 1- x 2 p 4 1V3 = 8 � � 1- x 2 dxdy = 8 �j ...