Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

Trong các đề thi Đại học chủ đề về tich phân nguyên hàm rất được quan tâm vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân B ài 1 . Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂNI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH1. Định nghĩa: Giả sử y  f(x) liên tụ c trên khoả ng (a, b), khi đó hàm số y  F (x) là m ột nguyên hàm củ a hàm số y  f(x) khi và chỉ khi F(x)  f(x), x(a, b). Nếu y  F(x) là m ộ t nguyên hàm của hàm số y  f(x) thì tậ p h ợp tấ t cả các nguyên hàm của hàm s ố y  f(x) là tậ p hợp I  F(x)  c c  R v à tậ p hợp này còn đư ợ c kí hiệ u dư ới dấ u tích phân bấ t đị nh I   f(x)dx  F(x)  c2. Vi phân:2.1 Giả sử y  f(x) xác định trên khoả ng (a, b) và có đạo hàm tạ i đi ểm x (a,b).Cho x một số gia x sao cho (x + x)  (a,b), khi đó ta có: dy  y   x  x• C ông thứ c vi phân theo số g ia:  df  x   f   x  x• C ông thứ c biến đổi vi phân: Ch ọn hàm số y  x  dy = dx = x’. x =  x  dx = x. dy  y   x  x dy  y   x  dx   Vậ y ta có:    df  x   f   x  x df  x   f   x  dx  • Nế u hàm s ố f(x) có vi phân tạ i điểm x thì ta nói f(x) kh ả vi tạ i điểm x.Do df  x   f   x  x nên f(x) khả v i tạ i đi ểm x  f(x) có đ ạ o hàm tạ i điểm x2.2. Tính chấ t: Giả sử u v à v là 2 hàm số cùng khả vi tạ i điểm x. Khi đó: udv  vdu  d  u  v   du  dv ; d  uv   udv  vdu ; d u  v2 v2.3 Vi phân của hàm h ợp  y  f(u) và f, g khả vi thì dy  f   u  du  f u  u  x  dxNế u  u  g(x)  1Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương3. Quan hệ gi ữa đạo hàm  nguyên hàm và vi phân:  f  x  dx  F  x   c  F  x   f  x   dF  x   f  x  dx4. Các tính chấ t của nguyên hàm và tích phân4.1. Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì    f  x  dx    f  x  dx   f  x  dx  f x ; d4.2. Nếu F(x) có đ ạ o hàm thì:  d F  x   F  x   c4.3. Phép cộng: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  4.4. Phép trừ: Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx  4.5. Phép nhân v ới m ột hằ ng số th ực khác 0:  kf  x  dx  k  f  x  dx , k  04.6. Công th ức đổi bi ến số: C ho y = f(u) và u = g(x).  f  g  x   g  x  dx   f u du  F u   c  f  x  dx  F  x   c Nế u thì  f  x  dx  F  x   c5. Nhậ n xét: Nếu với F(x) là hàm sơ cấ p thì ta nói tích phân b ấ t  f  x  dxđ ịnh biể u diễn đư ợc dư ới dạ ng hữ u h ạ n. Ta có nh ậ n xét:Nế u một tích phân bấ t định biểu diễn được dư ới dạ ng hữ u hạ n thì hàm số dư ớ i dấ utích phân là hàm sơ cấ p và đi ều ngư ợc lạ i không đúng, tứ c là có nhiề u hàm s ố dư ớid ấ u tích phân là hà m sơ cấ p nhưng tích phân bấ t đị nh không biểu diễ n đư ợ c dư ớid ạ ng hữ u hạ n mặ c dù nó tồ n tạ i. Chẳ ng hạ n các tích phân b ấ t định sau tồn tạ i dx sin x cos x x2 dx nhưng chúng không thể biể u di ễ n đư ợce dx ;  ;  sin x dx ;  dx ;  ln x x xd ư ới dạ ng hữ u hạ n.2 B ài 1 . Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phânII. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH1. Định nghĩa:Giả sử hàm s ố f(x) xác đ ịnh và bị chặ n trên đoạ n [a, b]. Xét m ột phân hoạ ch  bấ t kìcủ a đo ạ n [a, b], tứ c là chia đoạ n [a, b] thành n phầ n tuỳ ý bởi các điểm chia:a  x 0  x1  ...  x n1  x n  b . Trên mỗi đo ạ n  x k 1 , x k  lấ y bấ t kì đi ểm k   x k 1 , x k  ...