Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học)

Tài liệu tham khảo Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học) giúp các bạn ôn tập tốt môn lý
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học) Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học)Bµi 1 : X¸c ®Þnh dao ®éng tù do cña d©y h÷u h¹n, g¾n chÆt t¹i c¸c mót x = 0 vµ x 4 x (l  x ) (0  x  l) cßn vËn tèc= l, biÕt ®é lÖch ban ®Çu ®îc cho bëi u(x,0) = l2ban ®Çu b»ng 0.Gi¶i : Gäi u(x,t) lµ ®é lÖch cña thiÕt diÖn cã hoµnh ®é x ë thêi ®iÓm t.  2u  2u  a2 2Ta cã ph¬ng tr×nh dao ®éng cña d©y : (1) t 2 xTheo bµi ra, ta cã : 4 x l  x   u t 0  l2  ®iÒu kiÖn ban ®Çu :  (2)  u 0  x t 0  vµ ®iÒu kiÖn biªn : u x 0  0 u x l  0 (3)Theo lý thuyÕt, ta cã nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn   kat kat kx(3) cã d¹ng : u(x,t) =  u k ( x, t )   (a k cos (4)  bk sin ). sin l l l k 1 k 1Ta x¸c ®Þnh ak, bk sao cho u(x,t) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (2)  kx 4 x (l  x )Thay (4) vµo (2) : u t 0   a k sin (5)  l2 l k 1  ka kx u   bk (6) 0 sin t l l k 1 t 0 4 x (l  x )Gi¶i (5) : NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn thµnh chuçi Fourier theo l2hµm sin trong kho¶ng (0, l). kx råi lÊy tÝch ph©n 2 vÕ tõ 0  l ta cã :Nh©n 2 vÕ cña (5) víi sin ll l 2 kx kx 4 x (l  x ) (7) ak sin l dx   l 2 sin l dx0 0 kx 1  cos l l l l dx  a k  x  l sin kx  = a l kx VT =  a k sin 2 dx  a k  2 l 0 k k 2 l 2 2   0 0 l  VT = a k (8) 2 l l kx  kx 4 dx   x 2 . sin VP = l. x. sin dx   l2 l l 0  0 l l l l2 l2 kx kx kx lTa cã : I1 =  x. sin cos k dx    2 2 sin  .x. cos k k l o k l lo 0 l l l k ...